MATEMATiK DiYARi - DİCLEDE MATEMATİĞİN SESİ DERGİSİ

EDİTÖRLER

.....................

MAHİR AKTAŞ ALİ ÇOR

mahiraktas@hotmail.com alicor-@hotmail.com

Hikayemizin adını “Birbirini çizen eller” olarak koymak istedik çünkü; derginin yapım aşamasının bu güne kadarki zaman içersinde, maddi ve manevi anlamda çok zorluklar çektik. Ancak ne hayellerimizden, nede matematik aşkımızdan ödün vermedik. Bu bayrağı ilk kaldıran belki bizler olucagız, umarım bizden sonra bu bayrağı taşıyacak olan arkadaşlar matematiği sesini bizden daha güçlü haykırırlar.

Desteklerinden dolayı değerli arkadaşlarımız; Fırat YEŞİL, Hamdullah DÖNMEZ, Ethem YORULMAZ, Caner GÜNDEŞLİ, Ozan AYDIN, Yusuf BİCAK, M.Emin GÜZELER ve daha ismini sayamadığımız bütün arkadaşlara teşekkürler.

e-mail: dicledematsesi@hotmail.com

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ……………………………………………………………………………………………………….…..1

YORUM SİZİN……………………………………………………………………………………………….….2

MATEMATİK'İN DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ VE DİĞER BİLİMLERDEN FAKLI YÖNLERİ...4

MATEMATİK EĞİTİMİ VE ÖĞRETİMİ NASIL OLMALIDIR?..........................................................6

ALTIN ORAN……………………………………………………………………………………………….…...8

TÜRK MATEMATİKÇİLER…………………………………………………………………………….……..9

MATEMATİĞİN GÜCÜ……………………………………………………………………………….………11

AÇI KENAR BAĞINTILARINDA YENİLİK ………………………………………………………….…….12

DÜNYA MATEMATİKÇİLERİ……………………………………………………………………….……….13

PİCK TEOREMİ……………………………………………………………………………………….……….17

SAYILARLA YAŞAMAK……………………………………………………………………………….……….18

TARİHTE BÜYÜK KADIN MATEMATİKÇİLER………………………………………………….……… 20

CEBİR MERAKLILARINA…………………………………………………………………………….… …22

FIBONACCI (LEONARDO FIBONACCI) VE FIBONACCI DİZİSİ…………………………….……. 23

MATEMATİĞİN TARİHSEL GELİŞİMİ VE İDEAL MATEMATİK ……………………………….…….25

GEOMETRİ ÖDÜLLÜ SORULAR …………………………………………………………………….…….26

TAM KÜP AÇILIMI…………………………………………………………………………………….………28

SİHİRLİ KARELERİN SİHRİNİ VE GEÇMİŞİNİ KEŞFETMEK ……………………………….……….29

ZEKASINA GÜVENENLERE……………………………………………………………………….……...…31

PALİNDROM………………………………………………………………………………………………....…32

BUNLARI BİLİYORMUSUNUZ…………………………………………………………………….………...33

FERMAT BİLDİKLERİ………………………………………………………………………….……………. 34

GÜZEL SÖZLER………………………………………………………………………………………….…….35

TOPLAM KÜP YÖNTEMİNİ BULMA TEOREMİ………………………………………………….……...36

İMKANSIZ İŞLEMLER………………………………………………………………………………….……..38

MATEMATİK AŞKIM……………………………………………………………………………….………….40

MATEMATİKTE BUNALIMLAR……………………………………………………………….…………….42

KAN BASINCI DEĞİŞİMİ TRİGONOMETRİ VE OPTİK ……………………………………….…….….45

N ‘BOYUTLU CİSİMLERİN ÇİZİMİ……………………………………………………………….…….….46

DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN TARİHİ GELİŞİMİ………………………………………….………48

MATEMATIĞINE GÜVENENLERE……………………………………………………………………...…49

BİLMECELER……………………………………………………………………………………………….....50

FIKRALAR…………………………………………………………………………………………...……...….51

KARİKATÜRLER ………………………………………………………………………………...……………52

YARARLI LİNKLER………………………………………………………………………….........................53

AÇIKLAMALAR………………………………………………………………………………………………..54

TÜRKİYE 10. ZEKA OYUNLARI YARIŞMASI “OYUN 2005”…………………………………………55

KAYNAKÇA…………………………………………………………………………………………………….56

ÖNSÖZ

Eski Yunanca kökenli ”Matematik” sözcüğü, “tanımak, öğrenmek” anlamına gelen bir yüklemden türemiştir. Kökeni itibariyle “öğretilmiş olanı” yani her çeşit bilgiyi işaret etmektedir. Günümüzde matematik sözcüğünün kapsadığı alanı ifade etmek kolay değildir. Sık rastlanılan bir yoruma göre matematik, nicelik bilimidir.

Matematik, çağdaş toplumda yüksek bir teknik düzey gerektiren tüm alanlarda yer almaktadır. Uzay uçaklarının tasarımından uluslar arası finans sistemine kadar çok güçlü matematiksel araçlar kullanılmaktadır. Bununla birlikte matematik her şeyden önce yeni bir dünyanın keşfidir.

Matematiğin alanı oldukça geniştir. Dergide sunulduğu şekliyle matematiğin alanı sınırlanmış görünebilir ve matematik kolayca tanımlanabilir bir şey diye düşünülebilir. Ancak matematik bu kadar basit değildir. Matematiğin nesneleri her şeyden önce kavramlardır. Bir çift kuşun algılanabilir bir gerçekliği vardır; oysa, iki sayısı tümüyle soyuttur. Matematiği birçok kişi için zor kılan belki de bu bilimin soyut olmasından kaynaklanmaktadır.

Öte yandan, gökyüzünün yıldızların ve gezegenlerin hareketlerinin gözlenmesi çok erken dönemlerden itibaren insanlara, uzaydaki ve evrendeki yerlerini sorgulama olanağı verecek çok zengin bir gözlem hazinesi sağlıyordu. Astronomik olayların düzenliliği ise insan düşüncesine giderek bir düzen fikrini getiriyor olmalıydı.

Derginin hazırlanışında matematiğin birçok kişi için soyut ve zor olma özelliğini göz önünde bulundurduk. Bu nedenle bu bilim dalını kolay ve eğlenceli kılarak herkese sevdirmek istedik. Umarız okuyucu bilgi edinmekle beraber hoşça vakit geçirir.

YORUM SİZİN

Sevgili Ali ve Mahir, çıkardıkları dergiye benden bir yazı istediklerinde onlarla çok yoğun bir sohbet içindeydik. Ali ve Mahir son sınıf öğrencileri ve seneye muhtemelen İlköğretim çağındaki çocuklarımızın matematik öğrenmelerine rehberlik yapıyor olacak. Ben bu öngörü ile başlatmıştım sohbeti. Onlar da bu sohbeti çalışmalarına yayıp yayamayacağı konusunda bir düşünce oluşturmuşlardı.

Neler yazabilirim diye sorguladım. Kendim bir fikir, yorum belirtmektense bazı özdeyişleri, söz ve anektotları yazıp bir beyin fırtınası yaratmanın daha çeşitlilik oluşturacağını düşündüm ve aşağıdakiler kağıda dökülmüş oldu. Yazılanlar, bilgi, öğrenme ve öğretme, düşünce ve yaşam, öğrenileni yaşama yansıtma, olumlu düşünme ile ilgili önce kendi hayatımıza ve sonra da hayatlara nasıl dokunabileceğimize dair bize yol gösterecek ifadelerdir. Benim de hayatıma dokunan bu fikirlerin yararlı olmasını diliyorum.

“Matematiğin Sesi” dergisini ve böyle bir ürünü çok değerli buluyorum. Bu bir ilk, umarım devamlı olur. Emeği geçen herkesi kutluyor ve çalışmalarında başarıları diliyorum.

Dr. Murat HEVEDANLI

Dicle Ün. Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi

OFMAE Bölümü Biyoloji Eğitimi ABD

Gözlerimizin önünde sürekli açık duran bir kitap gibi olan evreni anlayabilmek için, bu kitabın yazıldığı dili yani matematiği öğrenmemiz, üçgen, daire gibi çeşitli geometrik şekilleri bilmemiz gerekir. Aksi taktirde bu kitabın tek bir kelimesi bile anlaşılmayacağı gibi, karmaşık bir labirent içinde dolaşıp durmaktan kurtulamayız.

Galileo GALİLEİ

Bilgi edinmede bilimsel yöntem dışında izlenecek başka bir yol yoktur; bilimin erişemediği bir şeyi bildiğimiz savı bir safsata olmaktan ileri geçmez.

Bertrand RUSELL

Kuşağımızın en büyük devrimi, insanların, zihinlerinin içini değiştirerek yaşamlarını değiştirebileceklerinin keşfedilmesidir.

William JAMES, Psikolog--ABD

Hiçbir şey doğru zihinsel yaklaşıma sahip birini amacından saptıramaz. Yanlış yaklaşım içinde olana ise yapılabilecek bir şey yoktur.

Thomas JEFFERSON

Yaşamın Yankısı

Dağlık bir bölgede adam küçük oğlu ile yürürken, oğlan ayağını taşa çarpar ve can acısı ile “Ahhhhh!” diye bağırır.

Dağdan “Ahhhhh!” diye bir ses gelir ve bu sesi duyan çocuk hayret eder.

Merakla “Sen kimsin?” diye bağırır; ama aldığı tek yanıt, “Sen kimsin?” olur.

Çocuk bu yanıta kızar ve “Sen bir korkaksın!” diye bağırır. Dağdan aldığı yanıt, “Sen bir korkaksın!” dır.

Babasına bakar ve “Baba ne oluyor?” diye sorar.

“Oğlum, dikkat et!” diyen baba, vadiye doğru, “Sana hayranım!” diye bağırır.

Ses, “Sana hayranım!” diye yanıtlar.

Baba, “Sen harikasın!” diye yine bağırdığında, bu kez dağdan, “Sen harikasın!” yanıtı gelir.

Çocuk şaşırmıştır, ama hala ne olduğunu pek anlayamamıştır. Baba oğluna durumu açıklar: “Oğlum, insanlar buna yankı derler; ama gerçekte yaşamın kendisidir. Yaşama ne verirsen sana onu yansıtır. Yaşam senin davranışlarının bir aynasıdır. Eğer yaşamında daha çok sevgi istiyorsan, insanları daha çok sev. Eğer sana saygılı davranılmasını istiyorsan insanlara saygılı davran. Eğer başkaları tarafından anlaşılmak istiyorsan önce başkalarını anlamaya gayret göster. Eğer insanların sana hoşgörülü ve sabırlı davranmasını istiyorsan, önce sen insanlara karşı hoşgörülü ve sabırlı olmalısın. Oğlum, yaşamda ne ekersen onu biçersin. Bu doğa yasası, yaşamının her yönü için geçerlidir.

İnsanların yaşamı tesadüfler sonucu oluşmaz; insanların yaşamı, onların davranışlarının yansımasından başka bir şey değildir.

Belli bir ereğe varmak için her türlü aracın, aşağılık ve alçaklıkların, çirkin yöntemlerin bile geçerli olduğunu sanıyorsun. Yanılıyorsun: Amaç, ona varmak için yürüdüğün yoldur. Bugün attığın her adım senin yarın ki yaşamındır. Hiçbir büyük ereğe, kötü ve aşağılık yöntemlerle varılmaz. Yaptığın her toplumsal devrim bunun doğruluğunu gösterdi. Ereğe giden yolun kötülüğü, iğrençliği ya da insancıllıktan uzak oluşu seni de kötü ya da insanlık dışı yapmakta ve böylece ereğe varmanı da olanaksız kılmaktadır.

Wilhelm REİCH

Büyük bilim adamı Einstein ile ilgili bir hikaye vardır. Bir keresinde ona “Bir mil kaç feettir?” diye sormuşlar. Einstein’ın cevabı şu olmuş: “Bilmiyorum. Herhangi bir referans kitabından iki dakikada bulabileceğim gerçeklerle beynimi neden doldurayım ki?”

David J. SCHWARTZ

...Ne kadar bilim okursan oku, davranış yoksa cahilsin. Bilime uygun davranmayan kimse üzerinde birkaç kitap yüklenmiş bir hayvandan başka bir şey değildir. O beyinsiz üzerinde odun mu var, (kitap mı) haberi yoktur…..

Şeyh SADİ

Tanrım,

Bana,

Değiştiremeyeceğim şeyleri kabul etmem için huzur,

Değiştirebileceklerim için yüreklilik,

İkisini birbirinden ayırt edebilmem için akıl ver.

Reinhold NİEBUHR’un Duası

Denizyıldızı Öyküsü

Bir adam okyanus sahilinde yürüyüş yaparken, denize telaşla bir şeyler atan birine rastlar. Biraz daha yaklaşınca bu kişinin, sahile vurmuş denizyıldızlarını denize attığını fark eder ve “Niçin bu denizyıldızlarını denize atıyorsunuz?” diye sorar. Topladıklarını hızla denize atmaya devam eden kişi, “Yaşamaları için” yanıtını verince, adam şaşkınlıkla “İyi ama burada binlerce denizyıldızı var. Hepsini atmanıza imkan yok. Sizin bunları denize atmanız neyi değiştirecek ki?” der. Yerden bir denizyıldızı daha alıp denize atan kişi, “Bak, onun için çok şey değişti” karşılığını verir.

MATEMATİK'İN DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ

DİĞER BİLİMLERDEN FAKLI YÖNLERİ

Matematik diğer müspet bilimlerin gelişmesini sağlar. Matematiğin diğer bilimlerle olan başka bir ilginç özelliği ise şudur; öteki bilimler de matematiğin bugünkü ileri seviyeye gelmesinde katkıda bulunmuştur. Örneğin: 17. yüzyıl başlarında, gök cisimlerinin yörünge hesapları sırasında, mevcut matematik bilgileri, astronomlar için yeterli olmamıştır. Netice itibariyle de, astronomların zorlamaları sonucu, matematikçiler tarafından, diferansiyel denklem kavramları ortaya konmuştur.

Fen bilimlerinden olan; fizik, kimya ve astronominin varlığı düşünüldüğünde, bu bilimlerde temel özellik, gözlem ve deneye dayalı, aynı zamanda da ölçülebilir, olmasıdır. Halbuki matematik, soyut bir bilim olmakta ve temel konusu da sayılar ve çevremizde gördüğümüz şekillerdir.

Matematiğin öteki bilimlerden diğer farkları ise, şu şekilde sıralamak mümkündür:

Sembol ve şekiller kullanılır, uygulama alanı geniş, soyut ve kesin sonuç esasına dayanır, kesin kanunları vardır, kendisini devamlı yeniler, öteki bilimlerde yapılan çalışmaları kanuniyet halinde ifade edilebilir duruma getirir, var olanı inceler, kesin sonuç verir, birbirine bağımlı olarak sürekli gelişme gösterir ve gelişmeleri birbirini tamamlar.

MATEMATİK'İN NİTELİKLERİ

Matematik, bir zihin (zeka) çalışmanın sonucu ortaya çıkmıştır. özellikle, atom modeli ve yapısı üzerinde yapılan araştırmalar ilerledikçe, çekirdek fiziği, bugünkü ilerleme safhasına eriştikten sonra, fen bilimlerinde matematik, en güvenilir bir açıklama aracı haline gelmiştir. Bu önemi her geçen gün artmaktadır.

Matematiğin, bu önemini almasındaki niteliklerini, şu şekilde sıralamak mümkündür:

A) Doğruluğu Kesindir.

B) Geneldir.

C) Soyuttur.

MATEMATİK'İN TEMEL İLKELERİ

Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi, her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime, başka kelimelerle tanımlanır, bu sonuncular da, daha başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için, sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki, bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi; matematikte, bir teorem, başka teoremlerle, o teoremler de başkalarıyla İspat edilir. Her şeyi ispat için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitme lazım geldiğinden, ister istemez bir yerde durmak icap ediyor. Şu halde, nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilmeyen şeyler de vardır. İspat edilemeyen bu şeylere, matematikte prensipler adı verilir. Gerçi, prensipler ispat edilemezler, fakat her şey bunlara dayanarak ispat edilir. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin sebebi budur.

Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren Eski Yunan (Grek) matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek lazım geldiğinin farkına varmışlardır. Bunlardan Öklid, Elementler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da, <<Kabulü istenen Şeyler>> adını vermiştir. Zamanla, bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir.

Örneğin, 19. yüzyıla kadar, matematikçiler, Öklid'in ispatsız kabul ettiği ve Öklid Postülatı denilen <<Bir doğrunun dışındaki bir noktadan, o doğruya yalnız bir paralel doğru çizilebilir>> şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız birtakım hükümler, yeni yeni prensipler kabul edilmiştir.

Eskiden beri, matematikçiler tarafından, matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır. Bunlar:

A) Tanımlar

B) Aksiyonlar

C) Postülatlar

Bu üç temel prensibe ait ilginç örnekler ve geniş bilgileri, herhangi tir matematik kitabında görmek mümkündür.

MATEMATİK'İN SINIFLANDIRILMASI

Gerçekte, matematiğin tam bir sınıflandırılmasını yapmak mümkün değildir. Çünkü, ayrı matematik dalları olarak belirteceğimiz dalları da, birbirleri ile iç içe durumdadır. Ancak, konu ile ilgili eserlerde, aşağıda görüldüğü şekilde bir sınıflamanın, genelde yaygın olduğu görülür.

MATEMATİK EĞİTİMİ VE ÖĞRETİMİ NASIL OLMALIDIR?

Tüm matematik öğretmenleri bir konuya başlarken “Ben bu konuyu öğrenciye nasıl aktarmalıyım ki daha iyi bir öğrenme sağlayayım .” biçiminde düşünür. Bunu gerçekleştirebilmek için öğrencilerimizin öğrenme biçimlerini bilmek zorundayız. Çünkü, öğrenim biçimlerini fark edemediğimiz zaman öğrencilerin öğrenmediklerini düşünerek onlar hakkında yanlış yargılar oluşturuyoruz. Bu da bizi suçlamaya itiyor. Oysa suçlama hiçbir yarar sağlamaz. Suçlama bizim sorumluluk almamızı ve öğrenme güçlüğünün nedenlerini araştırmamızı engeller. Öğrenci öğrenmesi büyük ölçüde sınıf ortamı içinde iyileştirilir. Kaçımız öğrenme stratejilerinde yapılacak değişikliklerle gerçekten iyi bir öğrenmenin sağlanabileceğini bilmekteyiz. Öğrenciler ve veliler eğitimin iyileştirildiğini kendi kendilerine görebilirler mi, yoksa eğitimin yapıldığı yerde başka birilerine mi gereksinim var? Öğretmenler bunun için sınıflarında öğrenme keyfi yaratmalıdır.

Japon mucizesini yaratıcısı Dr.Deming eğitimin iyileştirilmesi ile ilgili genel amacını şöyle ifade etmektedir. “Pozitifleri artırmak, negatifleri ise azaltmak, böylece öğrencilerin öğrenme heyecan ve isteklerini korumak şeklindedir. Ana okulu öğrencilerinde rastlanan öğrencilerdeki okuma ve öğrenme heyecanı korunursa bu çocukların okullarda da başarılı olacağına inanılmaktadır. Sistemin amacı hangi pozitiflerin öğrencilerin öğrenme keyfinin korunmasına yardımcı olduğunu belirlemek ve bu pozitifleri tüm sınıfa yaymak olmalıdır.”Eğitimi bir gemi olarak düşünürsek , eğitim gemisini tasarlayanlar yasa yapıcılardır. Bir gemini okyanusu geçerken kontrolü ne kaptanın ne de makine dairesinin şefinin veya dümencinin elindedir. Gemi tasarımcının kontrolündedir. Bu durumda biz sınıflarımızda matematik eğitimini, yasa yapıcılarının bize izin verdiği kadarını gerçekleştiriyoruz. Öğrencilerimiz için sürekli şu soruyu sormalıyız. “Neyi biliyorlar, ne yapabilirler?” Oysa eğitimin iyileştirilmesinin iki sözcüğü: Enformasyon (Ham bilgi), Bilgi (İşlenmiş ve edinilmiş bilgi veya beceri) yi kullanmaktır.

Matematik Kavramlar Problem Çözme Eğitim, asla kazanan kaybeden stratejisi üzerine kurulmuş bir oyun değildir. Eğitimde milyonlarca kazanana gereksinim vardır. Eğitimciler de olabildiğince fazla kazanana sahip olmanın eğitimin temel amacı olduğunu biliyorlar. Bilgileri öğrenmenin ölçülmesinin ilk ve önemli aşaması öğrencilerin hangi bilgileri, ne kadarlık bir süre içinde öğreneceklerini açık ve net biçimde hem kendilerine hem de velilerine söylenmesidir. Öğrenmenin iyileştirilmesi için:Öğrencilere dersin amacını açıklayın. Öğrencilere her hafta öğrenilen bilgileri kapsayan küçük sınavlar yapın.İki adet sınıf grafiği hazırlayın. Bunlardan birisi sınıf çalışma şeması, diğeri ise serpinti grafiğidir.
İlişki diyagramı hazırlayın.

MATEMATİĞİ ÖĞRETME YOLLARI

Bir matematik öğretmeni olarak, öğrencinin yaşamın içindeki matematiği keşfetmesini sağlamak zorundayız. Bunun İçin aşağıdaki yolları kullanmalıyız.Bir gün hiçbir şeye cevap vermeyin. Öğrencinin, kendisinin bulması veya kendi yaptığının doğru olup olmadığını açığa çıkarması için yardımcı olacak yollar bulun. Bir gün için sorularınıza yoğunlaşın. Mümkün olduğu kadar açık uçlu sorular olsun. Araştırmalar sonucunda geleneksel sınıf öğretmeni, birbirine karşı ve muhalif sorulara kıyasla, daha çok olaylara dayanan, birbirine yaklaşan sorular sorun. Çocuğun düşüncesini sorularınızla yönlendirmekten vazgeçin. Nasıl düşündüklerini araştırın ve kendi fikirlerini denemeleri için destek olun. Bir kitaptan bir etkinlik örneği alın. Çocukların düzenlemesine fırsat verin. Örneğin, istediği sayıları seçsin. Bir araştırmayı veya problemi, iki kişilik gruplar halinde inceletin. Öğrencilerin kendi fikirlerini keşfetmelerine yardımcı olun.Düzeyi zayıf olan öğrencileri de bu çalışmanın içine sokmaktan çekinmeyin. Matematiği zayıf bulunan öğrencilerin, araştırma yapmadaki başarısı birçok öğretmeni şaşırtır. Matematiğin bölümlerine-örneğin problem çözme için karar verme- yoğunlaşın. Öğrenciler gün boyunca yaptıkları etkinliklerde buna uygun çalışmaları fark etsinler. (Gün boyunca zaman zaman neye dikkat etmeleri gerektiğini anımsatın.) Birlikte oynayan iki çocuğu gözlemleyin. Gözlemlediğiniz matematiksel düşünmeyi kaydedin. (Karar verme, hayal kurma, mantık yürütme, tahmin etme, planlama, yeni yollar deneme, kaydetme) Sınıfla veya grupla beyin fırtınası saati düzenleyin. Herkes bir toplantı, bir konu, bir gösteri, bir gezi v.b. hakkında birçok fikir üretsin. Veya sınıflarında ki bir problem için çözüm önerileri oluştursunlar. Bazı öğrencilerin fikirlerini kullanın. Öğretmen arkadaşlarınızla bir araya gelerek bir problemi, bir oyunu sınıflarınızda birlikte uygulayın. Sonuçlarını tartışın. Bazı öğrencilere başka matematik öğretmeniyle çalışmasını önerin ve bunu sağlayın. Bu matematik öğretmeniyle bir plan yapın ve sonra sonuçlarını tartışın. Gün boyunca öğrencilerden gelen soruları kaydedin. Sonra soru çeşitlerini açıklayın. Bağımsız öğrenme için en iyi ve en kötü sorulara yoğunlaşın. Günlük hayatta matematiği kullandırın. Konularınızın her evresinde öğrettiklerinizi yaşamın içine taşımalarına yardımcı olun. Örnek: Alışveriş, bir amaçla anket düzenleme... Sonra bütün matematik deneyimlerini çalışma programlarında planlayın, belirtin. Geride durma, gözlemleme, dinleme, değerlendirme, yansıtma, eğlenme, dinlenme için zaman ayırın. Matematik daha iyi öğrenilebilir duruma gelecektir. Çünkü, öğrenciler eskisi gibi size bağımlı değildir. Her etkinlikte belirli şeyler öğretildiği zaman sıkıntı yaşanmaz.

MATEMATİK MÜFREDATINI KULLANMAK İÇİN 10 TEMEL KURAL

1.Öğretmen açık uçlu sorular sorar. Böylece öğrenciler kendi fikirlerini ortaya koyarlar ve kendi kararlarını verirler.
2.Matematik etkinliklerine katılım açıktır.

3.Matematik çocuğun deneyimleri ile (hayal ya da gerçek) bağlantılıdır.

4.Çocuklar çeşitli ortamları kullanırlar. Örneğin: matematik araçları, her gün kullanılan nesneler, hayali canlandırmalar, sınıf içi ve bahçe ortamı, çocukların kendi bilgisayarları, programlanabilen oyuncaklar.

5.Çocuklar kendi yaptıkları çalışmaları kaydederler.

6.Matematik tartışmaları (Çocuklar arasında- çocuk öğretmen arasında) artar.

7.Hatalar, problemler, karışıklıklar, tartışma alanları, yansıtmalar, kendini değerlendirme, yeni düşünceleri araştırma ve doğrulama araçları olarak görülür ve kabul edilir.

8.Problem çözme ve araştırma etkinlikleri, matematiksel düşünme ve çalışma yılları amaçlarıyla yapılır. Kesin sonuçlar önemli değildir.

9.Matematik etkinlikleri çocuğun belirleyebileceği, bileceği bir amaç için yapılır.

10.Çocuklar: yıldız verme, aferin,... gibi ödüllerden değil ; etkinlik ve matematikten etkilenir. İlgi duyar.

Matematik öğretimini yönlendiricilerle aktif hale getirmeye çalışalım. Peki, matematik yönlendiricileri nedir? Yeni bir kente gittiniz diyelim. İlk anda bu kentin yolları size karışık ve alışılmadık biçimde görülür. Yanınızda harita bile olsa kendinizi yabancı hissedersiniz. Birkaç gün sonra ise biraz daha tanıdık gelir. Ara sıra yolunuzu kaybetseniz bile birkaç tanıdık işaret koyarak yolunuzu bulmaya çalışırsınız. Gereken araştırmayla artık yolunuzu bulmaya başlarsınız. Aynı yöntemi matematik öğrenmede kullanılan yöntemler için de söyleyebiliriz. Matematiğin bir çok alanı vardır; sayılar, diziler, ölçüler, geometrik şekiller, istatistik, olasılık ve daha birçokları. Öğrencilere bunlar anlaşılmaz, yabancı ve karışık gelebilir.

Matematikçi Ta, öğrencilerine çok düzensiz bir şekil çizdi ve onlara bu şeklin alanını hesaplamayı ödev olarak verdi. Öğrenciler şekli üçgenlere, dörtgenlere, dairelere ve alanı hesaplanabilir başka şekillere böldüler ama içlerinden hiç biri düzensiz şeklin alanını kesin olarak hesaplamayı başaramadı. Bunun üzerine üstad Ta, bir makas aldı, şekli keserek bir tartıya koyup tarttı, öteki kefeye de alanı kolayca hesaplanabilen bir dikdörtgen koydu. Sonra kefeler aynı düzeye gelene değin dikdörtgenden parçalar kesti. Üstad Ta, şekilleri yalnızca şekillerle karşılaştıran öğrencilerin tersine alanı hesaplanacak şekli ağırlığı olan bir parça kağıt olarak ele alıp tartmış, böylece kurallara aldırmaksızın ödevi gerçek bir ödev niteliğinde görerek yerine getirmiştir. İşte matematikte yönlendiriciler bu küçük öyküde gördüğümüz işlevi yerine getirmektir. Matematiği dar, sığ alanlardan çıkarıp yaşamın içine taşımaktır. Bakış açımızı genişletmektir. Yaşamın içindeki matematiği harekete geçirmektir.

Tüm matematik öğretmenleri olarak öğrencilerimize yaşamın içindeki matematiği keşfettirelim. Değişik bir bakış açısıyla çevremizdeki her şeyi matematikle ilişkilendirelim.

(http://egitim.dagarcigi.tripod.com)

ALTIN ORAN

Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz. Çoğu zamam doğayı gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçülerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit.

Bunu simgelerle belirtecek olursak:
İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı:

x / y = y / (x - y).

İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına altın oran denir. Buradan denklem düzenlenirse x / y oranı:

Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:

•  Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.
•  Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
•  Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de kolleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tan-jantının altın oran olduğu görülmüştür.
•  Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eşittir.
•  Kolumuzun üst bölmünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.
•  Her bir Mısır piramitinin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.
•  Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir.

(www.math.boun.edu.tr)

TÜRK MATEMATİKÇİLER

ULUĞ BEY (1393 - 1449)

Türk matematikçilerinden birisi olan Uluğ Bey, Timur'un erkek torunlarından hükümdar olanlardan birinin oğludur. 1393 yılında Sultaniye kentinde doğmuştur. Timur'un öldüğü sıralarda Uluğ Bey Semerkant'ta bulunuyordu. Semerkant ve Maveraünnehir, Mirza Halil Sultan'ın saldırısı ve işgali üzerine babasının yanına gitmek zorunda kalmıştır. Babası buraları yeniden yönetimine alarak on altı yaşında olan Uluğ Bey'e yönetimini bırakmıştır. Uluğ Bey, bu tarihten sonra, hem hükümeti yönetmiş ve hem de öğrenimine devam etmiştir.

Uluğ Bey, bilgin ve olgun bir padişahtı. Boş zamanını kitap okumak ve bilginlerle ilmi konular üzerinde konuşmakla geçirirdi. Tüm bilginleri yöresinde toplamıştı. Matematik ve astronomi bilgileri oldukça ileri düzeydeydi.

          Bir söylentiye göre, kendi falına bakarak, oğlu Abdüllatif tarafından öldürüleceğini görmüş ve bunun üzerine oğlunu kendisinden uzak tutmayı uygun görmüştür. Baba ile oğlu arasındaki bu soğukluk, Uluğ Bey'in küçük oğluna karşı olan yakınlığı ile daha da şiddetlenmiş ve sonunda Uluğ Bey'in korktuğu başına gelmiştir.
        Uluğ Bey, ünlü Zeycini düzenlemiş ve bitirmiştir. Zeyç Kürkani veya Zeyç Cedit Sultani adı verilen bu eser, birkaç yüzyıl doğuda ve batıda faydalanılacak bir eser olmuştur. Zeyç Kürkani bazı kimseler tarafından açıklanmış ve Zeyç'in iki makalesi 1650 yılında Londra'da ilk olarak basılmıştır. Avrupa dillerinin birçoğuna, çevrilmiştir. 1839 yılında cetvelleri Fransızca tercümeleriyle birlikte, asıl eser de 1846 yılında aynen basılmıştır.
      Zeyç Kürkani'nin asıl kopyalarından biri Irak ve İran savaşlarından sonra Türkiye'ye getirilmiş ve halen Ayasofya kütüphanesindedir. Bir hile ile oğlu Abdüllatif tarafından 144 9 öldürüldü.

Ali KUŞCU(?-1474)

Türk-İslam Dünyası astronomi ve matematik âlimleri arasında, ortaya koyduğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu, Osmanlı Trükleri’nde, astronominin önde gelen bilgini sayılır. "Batı ve Doğu Bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna bir âlim olarak tanır." Öyle ki; müsteşrik W .Barlhold , Ali Kuşçu'yu "On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" olarak adlandırmıştır. Babası, Uluğ Bey'in kuşçu başısı (doğancıbaşı) idi.
Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey , Bursalı Kadızade Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu'in al-Din el-Kaşi'den astronomi ve matematik dersi almıştır. Önce,Uluğ Bey, tarafından 1421 yılında kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü, Gıyaseddün Cemşid'in, kısa süre sonra da Rasathanenin ikinci müdürü Kadızade Rumi'nin ölümü üzerine, Uluğ Bey Rasathaneye müdür olarak Ali Kuşcu'yu görevlendirmiştir.Kaynakların değerlendirilmesi sonucu anlaşılmaktadır ki; Ali Kuşçu yalnız telih eseriyle değil, talim ve irşadıyla devrini aşan bir bilgin olarak tanınmaktadır.

GELENBEVİ İSMAİL EFENDİ

GELENBEVİ İSMAİL EFENDİ (1730 - 1790)

1730 yılında şimdiki Manisa'nın Gelenbe kasabasında doğan Gelenbevi İsmail Efendi, Osmanlı İmparatorluğu matematikçilerindendir. Asıl adı İsmail'dir. Gelenbevi, eski yöntemle problem çözen son Osmanlı matematikçisidir.

Bazı silahların hedefe vurmaması, padişah III. Selim'i kızdırmış ve Gelenbevi'yi huzura çağırarak ona uyarıda bulunmuştur. Hedefe olan uzaklığı tahmin ederek gerekli düzeltmeleri yapmış ve topların hedefe vurmalarını sağlamıştır. Gelenbevi'nin bu başarısı padişahın dikkatini çekmiş ve padişah tarafından ödüllendirilmiştir. Gelenbevi, Türkçe ve Arapça olmak üzere tam otuz beş eser bırakmıştır. Türkiye'ye logaritmayı ilk sokan Gelenbevi İsmail Efendi'dir.

KERİM ERİM

KERİM ERİM (1894 – 1952)

İstanbul Yüksek Mühendis mektebi'ni bitirdikten (1914) sonra Berlin Üniversitesi'nde Albert Einstein'in yanında doktorasını yaptı (1919). Türkiye'ye dönünce, bitirdiği okulda öğretim ü-yesi olarak çalışmaya başladı. Yeni kurulan İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde analiz profesörü ve dekan olduğu gibi Yüksek Mühendis Mektebi'nde de ders vermeye devam etti. Yüksek Mühendis Mektebi İstanbul Teknik Üniversitesi'ne dönüştürülünce buradan ayrıldı ve yalnızca İstanbul Üniversitesi'nde çalışmaya devam etti. Daha sonra burada ordinaryüs profesör oldu. 1948 yılında Fen Fakültesi Dekanlığı'na getirildi. 1940 – 1952 yılları arasında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'ne bağlı Matematik Enstitüsü-'nün başkanlığını yaptı. Türkiye'de yüksek matematik öğretiminin yaygınlaşmasında ve çağdaş matematiğin yerleşmesinde etkin rol oynadı. Mekaniğin matematik esaslara dayandırılmasına da öncülük etti. Matematik ve fizik bilimlerinin felsefe ile olan ilişkileri üzerinde de çalışmalarda bulunan Erim'in Almanca ve Türkçe yapıtları bulunmaktadır.

Bunlardan bazıları şunlardır:

Nazari Hesap(1931), Mihanik(1934), Diferansiyel ve İntegral Hesap(1945), Über die Traghe-its-formen eines modulsystems(Bir modül sisteminin süredurum biçimleri üstüne - 1928)

CAHİT ARF(1910-1997)

Türkiye'nin yetiştirdiği en büyük matematikçilerden birisidir. Kendi adıyla bilinen teoremleri bulunmaktadır.1910 yılında Selanik'te doğdu. Yüksek öğrenimini Fransa'da Ecole Normale Superieure'de tamamladı (1932). Bir süre Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği yaptıktan sonra İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde doçent adayı olarak çalıştı. Doktorasını yapmak için Almanya'ya gitti.1938 yılında Göttingen Üniversitesi'nde doktorasını bitirdi.

Yurda döndüğünde İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde profesör ve ordinaryus profesörlüğe yük-seldi.Burada 1962 yılına kadar çalıştı.Daha sonra Robert Koleji'nde Matematik dersleri vermeye başladı.

1964 yılında Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bilim kolu başkanı oldu. Daha sonra gittiği Amerika Birleşik Devletleri'nde araştırma ve incelemelerde bulundu; Kaliforniya Üniversitesi'nde konuk öğretim üyesi olarak görev yaptı. 1967 yılında yurda dönüşünde Orta Doğu Teknik Üniversitesi'nde öğretim üyeliğine getirildi. 1980 yılında emekli oldu. Emekliye ayrıldıktan sonra TÜBİTAK'a bağlı Gebze Araştırma Merkezi'nde görev aldı.

1985 ve 1989 yılları arasında Türk Matematik Derneği başkanlığını yaptı. Arf İnönü Armağanı'nı (1948) ve TÜBİTAK Bilim Ödülü'nü kazandı (1974).

Cebir ve Sayılar Teorisi üzerine uluslararası bir sempozyum 1990'da 3 ve 7 Eylül tarihleri arasında Arf'in onuruna Silivri'de gerçekleştirilmiştir. Halkalar ve Geometri üzerine ilk konferanslarda 1984'te İstanbul'da yapılmıştır. Arf, matematikte geometri kavramı üzerine bir makale sunmuştur. Cahit Arf 1997 yılının Aralık ayında bir kalp rahatsızlığı nedeniyle aramızdan ayrıldı.

SELMAN AKBULUT

Prof. Dr. Selman Akbulut, 1971 yılında California Üniversitesi (Berkeley) Matematik Bölümü'nden mezun olmuştur. Prof. Dr. Akbulut, 1975 yılında aynı üniversitede doktora eğitimini tamamlayarak, 1976 yılında Wisconsin Üniversitesi'nde yardımcı doçent olarak göreve başlamıştır. 1978 - 1980 yılları arasında Rutgens Üniversitesi'nde, 1980 - 1981 yıllarında Michigan State Üniversitesi'nde Yardımcı Doçent; 1983 - 1986 yılları arasında aynı üniversitede Doçent olarak çalışmalarda bulunan Prof. Dr. Akbulut 1986 yılında profesörlüğe yükselmiştir ve halen Michigan State Üniversitesi'nde görev yapmaktadır. Prof. Dr. Akbulut, 1975 - 1976, 1980 - 1981 yıllarında Advanced Study Institute'da, 1982 - 1983 yıllarında Max - Planck Enstitüsü ve 1984 - 1985 yıllarında California Üniversitesi, Mathematical Sciences Research Institute'de çalışmalarda bulunmuştur. Prof. Dr. Akbulut, Türk Matematik Derneği, Amerikan Matematik Derneği ve Doğa - Türk Matematik Dergisi Editörler Kurulu'na üyedir. Prof. Dr. Selman Akbulut'un Uluslararası Science Citation Index'ce taranan hakemli dergilerde çıkmış 29 yayını vardır ve bu yayınlara 1991 yılı sonu itibariyle 239 atıf yapılmıştır.

www.matematikci.org www.matder.org.tr www.cybermaths.8m.com tr.wikipedia.org

MATEMATİĞİN GÜCÜ

Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan da oynandığı kabul edilir. Bir rivayete göre, satrancı bulan Brahman rahibi, Şah'a bir ders vermek istemiş. Şah'a "Senin askerlerin, atların, fillerin, kalelerin, vezirlerin olmadığında sen bir hiç sin, hiçbir şey yapamazsın" demiş. Şah'ın alaycı bir şekilde; "Tamam hadi güzelmiş, oyunu-nu beğendim. Dile benden ne dilersen" diyeret alaycı bir şekilde kendisini başından savuşturmaya çalıştığını görünce, Şah'ın hala akıllanmadığını düşünerek;"Bir miktar buğday istiyorum." demiş. "Size bulduğum bu oyunun birinci karesine bir buğday, ikinci karesine iki buğday, üçüncü karesine için ise dört buğday istiyorum. Böylece her karede, bir önceki karede aldığım buğdayın iki misli buğday istiyorum. Sadece bu kadarcık...

Şah ise böylesine basit bir istek üzerine sinirlenip, emrindeki askerlerine; "Hesaplayın, hak ettiğinden bir tane bile fazla vermeyin" demiş.

Sarayın kalemdarları hesapladıktan sonra dehşete kapılmışlar.

/	//	////	//// ////

Neden mi? Buyrun inceleyelim...

1. kareye ---------- 1 buğday

2. kareye ---------- 2 buğday

3. kareye ---------- 4 buğday

4. kareye ---------- 8 buğday

5. kareye ---------- 16 buğday

6. kareye ---------- 32 buğday

64. kareye --------- 9 223 372 036 854 775 808 buğday

TOPLAM ---------- 18 446 774 073 709 551 615 tane buğday

18 kentilyon 446 katrilyon 774 trilyon 73 milyar 709 milyon 551 bin 615

Bu ise, yaklaşık olarak;

1 156 500 000 000 ton buğday demektir.

(1 trilyon 156 milyar 500 milyon ton)

Bu ise bugünkü ölçülerle dünyanın 1500 yıllık buğday üretimine denk gelmektedir. Bu hikayen’in sonunu kimse bilmiyor. Acaba, bu hesaba karşılık Şah onu ödüllendirdi mi?

Yoksa matematiğin altında ezilerek onun kellesini mi aldı?

Sonuç bizi şuan pek de ilgilendirmiyor ama matematiksel zekanın gücünü bir kez daha görmüş olduk.

AÇI KENAR BAĞINTILARINDA YENİLİK

ABC üçgeni dar açılı bir üçgen olmak üzere

ABC üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için

Yöntemi kullanılır.

Ve de dar açılı üçgen olduğu için

Bir örnekle bu kuraldaki çelişkiyi gösterelim.

Örnek:

ABC üçgeninde m(a), m(b), m(c) açıları dar açılar olmak üzere

Çözüm:

1<X<7

ABC üçgeni dar açılı bir üçgen ise X’in aralığı 1<X<5 olmalıdır.

Bu koşul X için sağlıyorsa AB kenarı içindede sağlamalıdır.

AB kenarı için

Buradan da anlaşıldığı gibi aslında x in aralığı

İse x’in alacağı değerler nelerdir?

DÜNYA MATEMATİKÇİLERİ

Euclid (M.Ö. 325 - M.Ö. 265)

Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen ilk kapsamlı çalışmadır. Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, ''Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!'' levhası asılıydı. Öklid haklı olarak "geometrinin babası" diye bilinir; ama geometri onunla başlamış değildir.

Ömer Hayyam(1048–1131)

18 Mayıs 1048'de Iranın Nişabur kentinde doğdu İlgilendiği ilimler: matematik, fizik, astronomi, şiir, tıp, müzik. O herkesten farklı olarak yaptığı çalışmaların çoğunu kaleme almadı, oysa O ismini çokça duyduğumuz teoremlerin isimsiz kahramanıdır. Matematikle ilgili çalışmaları şöyle sıralanabilir: Cebir ve Geometri Üzerine, Bilgelikler Ölçüsü. En büyük eseri Cebir Risalesi'dir. On bölümden oluşan bu kitabın dört bölümünde kübik denklemleri incelemiş ve bu denklemleri sınıflandırmıştır. Matematik tarihinde ilk kez bu sınıflandırmayı yapan kişidir. O cebiri, “ sayısal ve geometrik bilinmeyenlerin belirlenmesini amaçlayan bilim” olarak tanımlardı. Matematik bilgisi ve yeteneği zamanın çok ötesinde olan Ömer Hayyam denklemlerle ilgili başarılı çalışmalar yapmıştır. Nitekim Hayyam 13 farklı 3. dereceden denklem tanımlamıştır. Denklemleri çoğunlukla geometrik metot kullanarak çözmüştür. Hayyam, binom açılımını da bulmuştur. Binom teoerimini ve bu açılımdaki katsayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. (Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında bir Hayyam üçgenidir )

öklitdışı geometrinin temellerini atan Hayyam olmuştur. Öklit'in yapıtı üzerine yorumlarında, irrasyonel sayıların da tıpkı rasyonel sayılar gibi kullanılabileceğini kanıtlaması matematik tarihinde bir dönüm noktası oluşturdu. Ömer Hayyam kendi doğum tarihini bu kadar net şekilde bir gökbilimci hassasiyetiyle kendisi bulmuştur. 21 Mart 1079 yılında tamamladığı, halk arasında “Ömer Hayyam Takvimi” bugün ise “Celali Takvimi” olarak bilinen takvim için büyük çaba sarf etmiştir. Güneş yılına göre düzenlenen bu takvim 5000 yılda bir gün hata verirken, bugün kullandığımız Gregoryen Takvimi 3330 yılda bir gün hata vermektedir.

Rene Descastes(1596-1650)

Analitik geometriyi geliştirerek tüm klasik geometriyi cebircilerin alanına sokan ünlü Fransız bilim adamı ve filozof. Descartes’in önemi, 16. yüzyılın iyi gelişmiş cebirini, eskiçağın geometrik analizine sistematik bir biçimde uygulamasından kaynaklanır. Cebirsel bir denklemin sayılar arasında bir bağlantı olarak görülmesi, matematiksel soyutlamada yeni bir ilerlemeydi. Bundan daha sonra, cebirin daha da geliştirilmesinde ve cebirsel eğrilerin genel olarak ele alınmasında yararlanıldı. Doğu’nun aritmetiksel cebir geleneğini yakalayan Batı, bu noktadan sonra onu hızla aşmaya başladı.

Pierre Fermat (1601-1665):

Hukuk okudu ve 1631'de Orleans Üniversitesi'ni bitirdi. Daha sonra Toulouse Kent Meclisi'nde üyelik yaptı. 1638'de Ağır Ceza Mahkemesi'ne atandı. Fermat, amatör bir matematikçiydi. Ancak gene de XVII. yy.ın ilk yarısının en önde gelen iki matematikçisinden biridir.(Diğeri Descartes’tir.)

Blaise Pascal (1623-1662)

Ünlü Fransız matematikçi. 16 yaşındayken bir dairenin içindeki beşgenle ilgili “Pascal teoremi”ni buldu. Birkaç yıl sonra bir hesap makinesi icat etti. Binom katsayılarından oluşan ve olasılık hesaplarında yararlanılan “aritmetik üçgen” üzerine yazdığı tez, ölümünden sonra yayımlandı (1664). İntegral hesabı ile ilişkin çalışmaları ve sonsuz küçüklerle ilgili tahminleri sonraki matematikçileri etkiledi. Tam bir tümevarım kuramının tatmin edici ilk formüle edilişini de Pascal yaptı. Fermat ile birlikte olasılıklar kuramının da kurcularından sayılır.

Isaac.Newton(1642-1727)

1642 yılında İngiltere'nin Woolsthrope kasabasında dünyaya gelen Newton'un en önemli buluşu, diferansiyel ve İntegral hesabı keşfetmesidir. Zaten Newton'u dünyada gelip geçmiş üç büyük matematikçiden biri yapan buluşu budur. İşin teknik yönü, üniversitelerde uzun uzun verilir. Bu nedenle, sadece adı bizim için şimdilik yeterlidir. Newton, bir ara teolojiye de ilgi duydu. Bu konuda bazı yorumları ve düşünceleri de vardır.

Newton, 1661 yılının haziran ayında Cambridge'deki Trinity College'e girdi. Giderlerinin bazılarını karşılamak için okulda bazı işlerde çalışıyordu.

Newton'un matematik öğretmeni Isaac Barrow (1630 – 1677), hem ilahiyatçı ve hem de matematikçi biriydi. Matematikte parlak fikirli olan Barrow, öğrencisinin kendisinden çok ileride olduğunu kabul ediyor ve 1669 yılında matematik kürsüsünü bırakıp sırası gelince, yerini o eşsiz büyük deha Newton'a bırakıyordu.

Isaac Newton, 1727 yılında böbreklerindeki rahatsızlık yüzünden yaşamını yitirdi.

De L'Hôpital (1661 – 1704)

Amatör bir Fransız matematikçisidir. 1661 yılında Paris'te doğmuştur. Johann Bernoulli'nin yönetiminde çalışmış ve kendisini yetiştirmiştir. L'Hôpital çok kabiliyetli bir matematikçiydi ve brachystochrone adı verilen problemi çömüştür.L'Hôpital 'in en ünlü eseri 1692 yılında yazmış olduğu "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes" dir. Bu eser aynı zamanda diferansiyel analiz üzerine yazılmış ilk ders kitabıdır. Bizim analizde bugün kullanmış olduğumuz ve L'Hôpital kuralı olarak bildiğimiz, "rasyonel fonksiyonların limit durumunda pay ve paydasının sıfır olması halinde uygulanan kural" yine bu kitapta yer almaktadır. L'Hôpital 2 Şubat 1704 yılında Paris'te ölmüştür.

Maclaurin(1698–1746)

İskoçyalı bir matematikçi olan Colin Maclaurin, 1698 yılında Kilmodan'da doğdu. 1717 yılında Aberdeen'deki Marischal Kolejinde matematik dersleri verdi.Maclaurin, Newton'un en başarılı öğrencilerinden biriydi. Geometri, cebir ve sonsuz küçükler hesabıyla ilgili eserler verdi. 1719 yılında "Organik Geometri" adlı eseri yayınlandı. Bu eserde, konikler, üçüncü ve dördüncü dereceden eğriler incelendi. Eğriler ve maksimumları üzerine buluşlar yaptı. 1742 yılında yayınladığı kitapta, kendi adıyla anılan, formülü ve bazı fizik buluşları vardır. Maclaurin'i yaşatan ve çok kullanılan Maclaurin açılımı veya serisidir.1746 yılında Edinburgh'taöldü.

Cramer (1704 – 1752)

İsviçreli bir matematikçi olan Cramer, 1704 yılında Cenevre'de doğdu. Cenevre'de matematik ve felsefe profesörlüğü yaptı.

Berlin akademisine ve İngiliz Kraliyet Akademisine üye seçildi. "Cebirsel Eğrilerin Analizine Giriş" adlı kitabı 1750 yılında yayımlandı. Cramer'in bu kitabı, analitik geometri alanında yazılan ilk kitaplardan biridir. Cramer'in en büyük hizmetlerinden biri de, Jean ve Jacques Bernoulli'nin tüm kitaplarıyla, Leibniz'in "Commerciu Epistolcum" adını taşıyan mektuplarını bir araya getirerek toplu halde yayınlaması olmuştur.

Bugün, denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan Cramer kuralı oldukça kolaylık sağlar. Matematiğin gelişmesinde büyük katkıları olan Cramer, 1752 yılında Bagnols'da öldü.

Leonhard Euler (1707 – 1783)

18. yüzyıl İsviçre'si, matematikçiler ailesinin en meşhur matematikçisidir. Çağdaşları tarafından "Canlı Analiz" adı ile belirtilir. Aynı zamanda; matematik tarihinde, en çok eser ortaya koyan matematikçi olarak görülür. Kaynaklar, matematikle ilgili ortaya koyduğu eser sayısını seksen olarak belirtir. İsviçre'nin Bale şehrinde, 15 Nisan 1707 tarihinde doğmuştur. Genç yaşta Bale Üniversitesi'ne girerek teoloji ve İbranice öğrenimi de gördü. Paris Fen Akademisi, Euler'in birçok çalışmalarını mükâfatlandırmıştı. Ay teorisini, yeniden geliştirmesi için, 1770 ve 1773 yıllarında bir yarışma açtı. Bu yarışmayı, Euler ve oğlu Johann Alberecht kazandı.
Euler, matematikte yeni olan; Euler Açıları, Euler Çemberi, Euler Değişmezi, Euler Doğrusu, Euler Formülleri, Euler Fonksiyonu, Euler şekilleri gibi, pek çok yeni kavramlar kazandırdı.7 Eylül 1983 tarihinde, 77 yaşında iken, beyin kanaması sonucu hayata gözlerini kapadı.

Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783)

Ansikpoledistler’in ünlü matematikçisi. Katı cisimlerin dinamiğini statiğe indirgeme yöntemi olan ‘D’Alembert ilkesi”ni geliştirdi. Birçok uygulamalı konu üzerinde, özellikle hidrodinamik, aerodinamik ve üç-cisim problemi üzerine çalıştı. Titreşen yaylalar kuramı onu, Daniel Bernoulli ile birlikte kısmi diferansiyel denklemler kuramının kurucusu yaptı.

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) Son derece verimli çalışmalarıyla 19. yüzyılın ilk yarısının matematikteki zirvesi sayılan Alman matematikçi. Çocuk denecek yaştan itibaren şaşırtıcı buluşlar yapmaya başladı.17 yaşında Euler’dan bağımsız olarak sayı kuramındaki ikinci dereceden karşıtlık yasasını buldu. 24 yaşında, cebirin temel teoremi denilen ve gerçek katsayılı her cebirsel denklemin en az bir kökü olduğunu, böylece n kökü bulunduğunu belirten teoremin ilk titiz kanıtını verdi. Disquisitiones aritmeticae adlı kitabı modern sayı kuramının başlangıcı olarak kabul edilir. Astronomiyle de ilgilendi. Genel elipsoidlerin çekimi, mekanik kareleştirme, dünyadan gözlenen düzensizlikler gibi konularda çalışmalar yaptı. Jeodezi ile de ilgilendi. Önemli katkılarından biri yüzey kuramıydı. 1825 ve 1832’de dördüncü dereceden (iki kat kareli) artıklarıyla ilgili çalışmalarını ortaya koydu. 1831’deki yapıtında karmaşık sayıların hem cebrini hem de aritmetiğini verdi. Ortaya çıkan yeni asal sayı kuramına göre 3 asal olarak kalırken, 5=(1+2i) (1-2i) artık asal değildi. Fizik ile de uğraştı. Yaptığı çalışmalar sonucunda potansiyel kuramı matematikten bağımsız bir dal olmaya başladı.

Cauchy (1789 – 1857) Işık kuramına ve mekaniğe yaptığı katkıların yanı sıra, Navier ile birlikte matematiksel esneklik kuramının da kurucusu olan Fransız bilim adamı. En büyük zaferi, karmaşık değişkenli fonksiyonlar kuramı ve analizdeki kesinlik için gösterdiği çabadır. Karmaşık fonksiyonlar kuramı, Cauchy’nin ellerinde, yalnızca hidrodinamikte ve aerodinamikte kullanılan yararlı bir araç olmaktan çıkıp, matematiksel araştırmanın yeni ve bağımsız bir alanı oldu. Cauchy, günümüzün ders kitaplarında kabul edilen biçimiyle diferansiyel ve integral hesabın temellerini attı. Sonsuz seriler kuramındaki birkaç yakınsaklık kanıtı Cauchy’nin adını almıştır. Kitaplarında analizin aritmetikleştirilmesine yönelik kesin adımlar vardır.

Evariste Galois (1811–1832) Matematik dünyasına bir kuyrukluyıldız gibi gelmesiyle gitmesi bir olan birinci sınıf bir dahi! 1830 devrimine bir cumhuriyetçi olarak katıldı, hapiste kaldı, çok geçmeden 21 yaşındayken bir düelloda öldürüldü. Düellodan önceki akşam, denklemler kuramındaki buluşlarını içeren notlarını bir arkadaşına yazmıştı. Bu notlar, modern cebir ve geometrinin anahtarı olan grup kuramını içeriyordu. Cebirsel bir denklemin köklerine ait dönüşüm grubunun temel özelliklerini açıklayan Galois, bu köklerin rasyonellik alanlarının grup tarafından belirlendiğini öne sürdü. Değişmez alt grupların merkezi konumuna dikkat çekti. Açının üçe bölünmesi, küpün iki katına çıkartılması, kübik ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümü gibi eskiçağın problemlerinin yanı sıra, herhangi bir dereceden cebirsel bir denklemin çözümü de Galois’nın kuramında doğal yerini buldu. Günümüzde Galois’nın birleştirici ilkesi, 19. yüzyıl matematiğinin en önemli başarılarından biri olarak değerlendirilir.

Schwarz(1843–1921)
Hermann Amandus Schwarz, 1843 yılında Almanya'da doğdu. Berlin Üniversitesi'nde Weierstrass'ın en parlak öğrencilerinden biriydi. Kendisini, özel ilgisi ve Weierstrass'ın dersleriyle çok iyi yetiştirdi. İyi bir analizci oldu. Çok parlak bir zekâsı ve keskin bir görüşü vardı. Öğretmenleri kendisini çok beğenirlerdi. Diğer yandan da, çok değişik görüşlü ve orijinal bir matematikçiydi. Bu nedenle de, matematiğin birçok dalında eserler verdi. Minimum yüzeyler kuramı ve fonksiyonlar kuramı, bu çalıştığı sahalardan yalnız ikisidir. 1897 yılında Berlin'de Weierstrass'ın yanında profesör oldu. Burada, çok sayıda eser verdi. Özel olarak Weierstrass'tan çok yardımlar gördü. Weierstrass onu hep desteklerdi. 1921 yılında öldü.

Pick Teoremi

Bilim stantlarınızın vazgeçilmez üyesi olmaya aday, orijinal adı "Pick Teoremi" (George Pick tarafından 1899'da keşfedilmiş) olan "çivilerle alan hesabı" aslında yeni keşfedilmiş bir şey değil.1899 yılından beri kendisi önemli bir teorem olarak matematik dökümanlarının arasında yerini almakta.

Peki, bu teorem ne işe yarar? Nasıl uygulanır?... gibi soruların cevabı aşağıdaki satırlarda gizlidir.

Uygulama:

Elimize düz bir tahta parçası alıyoruz, 30cm x 30cm 'lik mesela.Üzerine 2cm aralıklarla çivi çakıyoruz, 10 x 10 'luk 100 çivilik bir tahtamız var.Elimize aldığımız bir iple yada lastikle istediğimiz çokgeni oluşturup alanını aşağıdaki formülle buluyoruz;

Alan = X + Y/2 - 1

öyleki

X = çokgenin içindeki çivi sayısı ()

Y = çokgenin sınırlarındaki çivi sayısı ()

mesela şekildeki çokgenin alanı;

31 + 15 /2 - 1 = 37.5

(www.matematikci.org)

SAYILARLA YAŞAMAK

Yüzyıllar boyunca insanlar sayılara özel bir önem verdiler, onlara rakamsal değerlerinin ötesinde anlamlar yüklediler. Matematiğin bir aracı olan sayıların insanın kişiliğinin gizli yanlarını gösterdiği düşünüldü. Pek çok insan sayıların uğuruna ya da uğursuzluğuna inandı.

M.Ö. 2000'de, İbraniler, Yunanlılar, Latinler ve Araplar baş tanrılarının her birine bir sayı verdiler. Mayalar, oluşturdukları 260 günlük tören takviminde, takvimi, her biri bir Tanrının adını taşıyan 20 günlük devrelere böldüler. Her tanrının adına 1-13 arası değişen bir de sayı verdiler. Böylece 260 günlük takvimin her gününün, Tanrılarla ilişkili özel bir adı ve başka bir gün için yinelenmeyen bir sayısı vardı.

Pisagorcular sayıların aklı, sağlığı, adaleti ve evliliği etkilediğini düşünüyorlardı. Onlara göre, bütün sayıların başlangıcı olan 1, birliği ve tekliği temsil ediyordu. Çift sayılar dişildi, ilk çift sayı olan 2 farklı düşüncelerin simgesiydi ve çeşitliliği temsil ediyordu. 1 ve 2 sayılarının toplamından oluşan ilk tek sayı 3 erildi ve uyumun simgesiydi. 4 sayısı adaleti, ilk dişil ve eril sayıların toplamından oluşan 5 evliliği, 6 yalnızlığı, 7 sağlığı ve 8 aşkı temsil ediyordu. Pisagorcuların sisteminde ilk dört sayının toplamı olan 10 en mükemmel sayıydı. Onlara göre yıldız türünden gökte dolanan 10 cisim olmalıydı. Fakat görünen sadece 9 cisim varken onlar özel bir onuncu cisim oluşturdular; görünmez bir karşı dünya.

Plato, sayıların gizemi ile ilgilendi. "Republic" adlı kitabında, "iyi ve kötünün efendisi"olarak nitelediği mistik bir sayı üzerine yazdı ama bu sayının ne olduğunu belirtmedi. Daha sonra bu sayı üzerine birçok çalışma yapıldı. Bir görüşe göre, Hint ve Babil gizemciliğinde önemli bir yeri olan, 60 veya 12.960.000 sayısı Platon'un mistik sayısı idi.

Onun için bu sayılara "Platonik sayılar" adı verildi.

Taocu düşüncede ise, bir; ikiyi, iki de üçü yaratmıştır. Bir Tao'dur, iki Yin ve Yang, üç ise cennet, dünya ve insanlığı temsil eder.

Bir dönem gizem, kahinlik ve büyü alanlarında bir sözcüğü oluşturan harflerin değerlerinin toplamı ile uğraşıldı. Böylece sözcükler sayısal değer kazandılar.

Bu konudaki en güzel örnek, Arapların Ebced hesabıdır. Hemen her alfabedeki harflerin çok eskiden beri rakam olarak birer karşılığı bulunduğu bilinmektedir. Bunlar arasında en çok tanınan İbrani-Suryani, Grek ve Latin harf-sayı sistemidir. "Ebced hesabı" denilen ve Arap alfabesinin ebced tertibine dayanan rakamlar ve hesap sistemi müslüman uluslar arasında kullanılmaktadır.

Ebced, Arap alfabesindeki harflerin kolay öğrenilmesi için düzenlenmiş sözcüklerdir. Sekiz sözcükten oluşur. Bu sekiz sözcük içinde 28 harf bulunmaktadır. İlk dokuz harf 1-9'u, ikinci dokuz harf 10-90'ı, üçüncü dokuz harf 100-900 sayılarını ve son harf 1000'i gösterir.

Ebcedin her harfinin bir Tanrı adına ve doğal güçlere karşılık olduğu sayılmıştır; bir yandan harf ve sayılar arasındaki ilişkiler, öte yandan bunlara karşılık gelen simgeler sayesinde gizemli bir yol oluşturulmuştur.

Ebced hesabı, birçok alanda kullanıldı. İslam dünyasında özellikle tasavvuf, astronomi, astroloji, edebiyat ve mimari alanlarıyla sihir ve büyücülükte kullanılıyordu. Kullanım alanlarında ki bazı örnekler şunlardır;

İslam dünyasında kitap düzenlemelerinde ebcedden faydalanıldı. Arap alfabesinin kullanıldığı ülkelerde kitapların başında eserden ayrı bilgiler verileceği zaman, bu kısım ebced harfleriyle numaralanıyordu. Ayrıca, kitaplarda önsöz, sunuş, içindekiler ve dizin gibi kitabın asıl bölümlerinden ayrı olan sayfalarda sayfa numarası olarak kullanıldığı görülür.
Ebced mimaride de kullanılıyordu.

Mimar Sinan tarafından bu kelimelerin karşılığı sayılardan faydalanmak suretiyle, yapılardaki oranların belirlenmesinde ve modüler düzenin oluşumunda kullanılmıştır. Ebcedin fizik, matematik ve astronomide kullanılışı ise daha çok "hesab-i cumül"e dayanmaktadır. Ancak astronomik gözlemlerde kullanılan çeşitli gözlem araçlarında ebced harfleri rakam yerine kullanılmıştır.

Ebced halk arasında da çeşitli maksatlarla kulanılıyordu. Bunlardan biri, doğum yılını veren harflerin biraraya getirilmesiyle ortaya çıkan kelimenin çocuğa ad olarak konulmasıdır. Mesela hicri 1290 (1873) yılında doğan Mehmet Akif Ersoy'un adı, babası tarafından bu usülle Ragıyf olarak konulmuş, fakat bu alışılmamış kelime, babasının ölünceye kadar Ragıyf demekte ısrar etmesine rağmen yakın çevresi tarafından Akif şekline dönüştürülmüştür.

Bazı sözcüklerin sayısal değeri o sözcüklerin simgesi olarak kullanıldı; örneğin Muhammed adının sayısal değeri olan 92, Hz. Muhammed'i çağrıştırıyordu. Tarih düşürme, herhangi bir tarih olayını ebced'in sayı değerleriyle saptama işidir. Harflerin toplamı, belirli bir hicret yılını gösteren bir sözcükle, tamlama bulmak da; tümce, mısra yada bir beyit düşürme yoluyla yapılır. Ebced hesabı, evlenme, ölüm, doğum, toplumsal olaylar, hatta günlük önemsiz olaylar için de kullanıldı. Bu yöntemle, tarihini belirlemek için rakamlar kullanmak yerine, rakamların karşılığı olan harflerle üzerine şiir yada özel bir yazı yazılıyordu.

(www.izinsizgosteri.net)

TARİHTE BÜYÜK KADIN MATEMATİKÇİLER

Tarihte büyük kadın matematikçiler de vardır. Gericiler tarafından katledilen Hypatia, parlak bilim merkezi İskenderiye’nin son ışığı sayılır. Sonraki dönemlerde Sonja Kowalewsky, Sophie Germain, Emmy Noether genç hanımlara örnek oluşturacak ünlü matematikçilerden bazılarıdır.

Hypatia:(M.S. 370-415)

Aydınlığın son ışığı

Şimdi, epey gerilere giderek İskenderiyeli astronom ve matematikçi Theon’un kızı Hypatia’yı anlatalım. Bilimi ve zerafeti ile olduğu kadar güzelliği ile de ünlü olan bu filozof ve matematikçi Grek hanım Atina’da eğitimini tamamladıktan sonra İskenderiye’ye yerleşmiş ve orada bir okul açmıştır. Babasından aldığı sağlam fikir yapısı ile kendisini Platon’un izinde buldu ve İskenderiye’de Platon, Aristo ve Suda gibi diğer filozoflar üzerine halka açık dersler verdi. En önemli öğrencisi Synesios’dur. Hypatia çeşitli bilim dallarında çalışmıştı; yaratıcı olmaktan çok bir eleştirmen ve yorumcu (commentator) idi. Astronomik tablolar, Appolonius konik kesitleri ve Diophant üzerine yorumları vardır. Hypatia’nın en parlak zamanı Arkadius’un hükümranlığı dönemine, 415’deki trajik ölümü de Arkadius’un halefi devrine rastlar.

Hypatia’nın İskenderiye’de yeni Platonculuğu yansıtan felsefesi, yaklaşımı bakımından Atina okuluna göre daha araştırmacı ve bilimsel nitelikteydi, ayrıca Atina okulu kadar mistik eğilimler taşımıyordu.

MÖ 3. yüzyıldan başlayarak altıyüz yıllık bir süre boyunca insanların İskenderiye’de başlattığı düşünsel ortamdan sonraki baskı, öğrenmekten korku bütün izleri yok etmiştir.

Hıristiyanlıktan sonra filozoflar takımı Roma hükümdarının himayesinde olmaya devam ettiler ve yeni eğitim hiçbir şekilde yığınlara mal edilmedi. Hükümdar Julyana Apostata’nın onlara verdiği koruma, ölümünden on yıl sonra da devam etti. Hypatia o dönemde ilk Hıristiyanlarca büyük ölçüde putperestlikle özleştirilen öğrenim ve bilimi simgeliyordu. Bu nedenle İskenderiye’de Hıristiyanlar ve Hıristiyan olmayanlar arasındaki gerginlik ve çatışmaların öne çıkan ismi olarak görülüyordu. Eski aydınlanmanın temsilcisi olan Hypatia, Pitolemais şehrinin putperest valisi Orestes’in himayesine sığınır, Rahip Cyrillos’un İskendiriye’ye Başpiskopos olmasından sonra gerginlikler daha artar ve onun yandaşlarının oluşturduğu bir kitle tarafından sokakta araba altında linç edilir.

Önceleri Makedonyalılar, sonra Romalı askerler, Mısırlı rahipler, Yunan aristokratları, Fenikeli denizciler, Yahudi tacirler, Hindistan ve Güney Sahra’dan gelen ziyaretçiler İskenderiye’nin parlak döneminde büyük bir uyum içinde yaşamışlardı. Büyük İskender’in kurduğu bu şehrin muhteşem bir kütüphanesi ve buna bağlı bir müzesi vardı. Bilim ve düşünce ürünleri burada çiçek açmıştı; pek çok bilim adamının yanında İskenderiyeli Theon ve kızı Hypatia da bu kütüphaneye devam edenler arasındaydı. Bu kütüphane de fanatikler tarafından yakılmıştır.

Sonja Kowalewsky:( 1850 – 1891 )

Güzel, hırslı ve başarılı...15 Ocak 1850’de Moskova’da aristokrat bir ailenin kızı olarak doğan Sonja Korvin Kroukowka, küçük yaşından itibaren matematik çalışmaya başlamıştı. Sonja’nın yurt dışında öğrenim görme arzusu onu Almanya’nın Heidelberg Üniversitesi’ne götürdü. E.T. Bell’e göre bu çok yetenekli genç kız, yalnız yeni zamanların en yüksek kadın matematikçisi değil, aynı zamanda kadının özellikle yüksek öğretimdeki yeteneksizliği fikrine karşı, bağımsızlığa kavuşması cerayanının önderi olmuştur.Sonja Satürn’ün halkası teoremi ile de uğraştı. Matematik fizikte, ikinc imertebeden kısmi türevli diferansiyel denklemler üzerindeki yayınlarıyla ünlü Fransız matematikçileri Darboux ve Hadamard’la Sonja Kowalewsky ismi de yer almaktadır.Bu büyük ödülden iki yıl sonra kısa süren bir hastalığın ardından 10 Şubat 1891’de Stockholm’de öldü. Weierstrass ise altı yıl sonra 1897’de öldü.

Sophie Germain:(1776-1831) Matematik dünyasına girebilmek için erkek ismi...

Sonja Kowalewsky’den önce yaşamış Fransız hanım matematikçisi Sophie Germain’i anlatmak için, bu defa bilimlerin kraliçesi matematiğin prensi Gauss’dan söz etmek gerekiyor. Almanya’nın Braunschweig şehrinde 1777’de fakir bir ailenin oğlu olarak dünyaya gelen Gauss, çocukluk çağında parlayarak, genç yaşlarında metamatiğe kesinlik getirme ve yeni devir açma mertebesine erişir. O çağlardaki hocalarının ve onlar vasıtasıyla Braunshweig Dükü Ferdinand’ın destekleriyle büyük çalışmalar yapmak imkanını buldu. Esas konumuz Gauss olmadığı için onun için söylenmesi gereken güzel sözleri bir tarafa bırakarak; sadece şaheseri Disquisitiones Arithmatica’yı zikredelim.Fransız matematikçisi Sophie Germain (1776-1831) Gauss’dan bir yaş büyüktür. Disquistiones Arithmetica’ya hayran olup, bundan ilham alan Sophie Germain, aritmetik üzerine bazı çalışmalarını Gauss’a mektupla göndermiş, fakat Gauss’un bir kadın matematikçiye olumsuz bir kanısı olabileceğinden çekinerek mektuplarında bir erkek adını, M. Leblanc’ı kullanmıştı. Gauss, bu mektupları derin takdir besleyerek mükemmel Fransızcası ile yanıtlıyordu.Göttingen Üniversitesi Gauss’un Sophie için teklif ettiği fahri doktor ünvanını vermeye vakit bulamadan Sophie Paris’te öldü. Yine oldukça genç yaşta ölen bu Fransız hanım matematikçinin fizikten, analize ve soyut matematiğe geçişteki önemli katkılarını matematik tarihi yazmaktadır.Bell, “Sophie matematikle uğraşan kadınlara kader tarafından verilen uğurlu bir isimdir, yeter ki hayatlarında geniş fikirli hocalara rastlamış olsunlar...” diyor.

Emmy Noether: (1882-1935) Büyük cebirci…

Sonja Kowalewsky’den 30 yıl sonra doğan Emmy Noether’in modern soyut bilime katkılarını anlatmak için daha bilimsel bir yazı çerçevesi gerekir Emmy, önce Göttingen’de profesör olmuş, modern cebire önemli katkılarda bulunarak sayısız öğrenciler yetiştirmiştir. Topoloji ve ideal teorileri ve Galois teorisinin modern takdimi üzerindeki araştırmaları ile adını dünyaya duyurmuştur. 1933’de Yahudi olduğu için Alman Nazizmi’nden kaçmak zorunda kalarak, ABD’ye göç etmiştir. Yine orada önemli bir kolej olan Bryn Mawr College’de profesörlüğe başlamıştır. O da, oldukça genç ölmüştür. Daha uzun yaşasaydı matematik çok şeyler kazanacaktı.Alman matematikçisi Landau’a göre Emmy, N. ailesinin başlangıç (orijin) noktasıdır.Bir hanımın yaşıtı erkekleri aşarak matematiğe büyük katkılar sağlamasının, matematiği seven hanımlara cesaret vermesini, örnek olmasını dilerim hep.

www.matematikci.org www.matder.org.tr www.cybermaths.8m.com tr.wikipedia.org www.tmd.org.tr

CEBİR MERAKLILARINA

1) (ab+cd)²=abcd
a,b,c,d farklı rakamlar olmak üzere yukarıdaki eşitliği doğrulayacak bütün abcd sayılarını bulun.
abcd, dört basamaklı; ab ve cd de ikişer basamaklı sayıları ifade etmektedirler.

2) A, B ve C aralarında tavla oynarlar. Önce A ile B karşılaşır, kazanan C ile oynar. Bundan sonra, parti devam ettiği sürece, oynanan son oyunu kazanan, o karşılaşmada oynamayan üçüncü kişi ile karşılaşır. Oyunculardan biri art arda iki kez kazanınca, parti sona erer ve ardışık iki oyunu kazanan partinin galibi olur. Her oyunda iki tarafın da kazanma olasılığı eşit ise, C'nin partiyi kazanma olasılığı nedir?

3) Bütün tamsayıların yüzde kaçının içinde en azından bir kere 3 rakamı kullanılmaktadır?

4) Bir kral esirlerini daire şeklinde dizip 1.den başlayarak sayıyor. Bir iki üç, üçüncüyü asıyor dört beş altı, altıncıyı asıyor. Bu işlem tek esir kalana kadar devam ediyor. Hangi esir n sayıda esir varken sağ kalacak kişinin sırasını bilirse asılmaktan kurtuluyor. Sıra numarasının formülünü bulabilir misiniz.?

5) ise x’i bulun?

6) Bir uçakta 100 kişilik yer vardır. Yolcular yer numaralarına bakılmaksızın karışık bir şekilde teker teker uçağa alınmaktadırlar. Her yolcu uçağa bindiğinde önce uçuş kartının üzerindeki numaraya yönelmekte, eğer yerinde bir başkası oturuyorsa rastgele başka bir koltuğa oturmaktadır. ("orası benim yerimdi" türünden bir tartışma yaşanmadığını varsayıyoruz) Uçağa ilk binen yolcu yaşlı bir kadındır ve gözleri iyi seçmediğinden yanlış bir koltuğa oturmuştur. Bu durumda uçağa 100. sırada alınan yolcunun kendi koltuğuna oturabilme şansı yüzde kaçtır?

7) Bir pozitif tam sayının 9 katının rakamlarının toplamına, bu sayının "özsayısı" diyelim. Tüm iki basamaklı sayıların özsayılarının toplamı nedir?

8) x,y,z pozitif reel sayılar olmak üzere

ise nin alacağı en küçük tamsayı değeri kaçtır?

9) x ve y sayıları 11a² - 3b - 5 = 0 denkleminin iki çözümü olsun.

(1 + x + x² + x³ + ...) (1 + y + y² + y³ + ...) sayısını hesaplayın.

NOT: Soruları çözen ilk kişiye ödül olarak:

Matematik tarihi ile ilgili kitap hediye edilecek ve

2. sayımızda ayın matematikçisi olarak tam sayfa fotoğrafı yayınlanacaktır.

Çözümlerin gönderileceği adres (diclematsesi@hotmail.com)

FIBONACCI (LEONARDO FIBONACCI)

VE FIBONACCI DİZİSİ

KİM BU FIBONACCI?

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın en önde gelen matematikçisidir. Fibonacci için, "Matematik'i Araplardan alıp, Avrupa'ya aktaran kişi" denilebilir.

Fibonacci'nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci'nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya'nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa'lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya'dır ve Cezayir'dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci'de hocasından "Dokuz Hint Rakamının Sanatını" öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci'nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa'da Harzemli Muhammed Bin Musa'nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç "aydın" dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: "Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir. Bu dokuz rakama "0" işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir."

Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frderick'in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frderick'in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum'u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. "Diyofantus Denklemleri"ne ayrılan bu kitap Fibonacci'nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci'ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228'de Fibonacci, Liber Abaci'yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott'a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240'ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı "20 Pisa Lirası" yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci, Arap Matematik'ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı'ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci'nin adını. Daha çok, Liber Abaci'de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci'yi anlatan bir yazıda "Fibonacci Sayıları"ndan ya da "Fibonacci Dizisi"nden söz etmemek olmaz. Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız...

PEKİ, YA NEDİR BU FIBONACCI DİZİSİ?

Liber Abaci'de yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

"Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan peydahladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Knuth dostumuza göre, Fibonacci bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlaması sorununa bir çözüm getirsin diye koymamış (Ben de aynı kanıdayım...). Toplama alıştırması olarak düşünmüş bunu, besbelli. Her neyse biraz düşününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.

Neyse her halde sorumuzun cevabını merak ediyorsunuz... Alın size cevap... Bakın bakalım, kaç tavşan oluşurmuş 100 ayda?

CEVAP --->>> 354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN OLUŞUR...

FIBONACCI DİZİSİ (BİRAZ DAHA CEBİRSEL)

*** Fibonacci Dizisi'nin özelliği şu; Fibonacci Dizisindeki bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.

FIBONACCI DİZİSİ'ni yazalım...

................1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.............

Görüldüğü gibi bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Mesela;

1+1=2 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 ......... 89+144=233 gibi.

FIBONACCI DİZİSİNİN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğrutaneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Tavşan: Zaten sorumuz tavşanla alakalı...

6) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

7) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez'i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

8) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

9) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da birçok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

(www.portal.acm.org)

MATEMATİĞİN TARİHSEL GELİŞİMİ

İDEAL MATEMATİK

İnsanoğlu var olduğu günden itibaren çevresindeki tuhaf fakat bir o kadar da muhteşem evrendeki olayları ve nesneleri, anlamlandırmaya isimlendirmeye, taklide var gücüyle çalışmıştır. Bunu ilk başta içgüdüsel ve ilkel bir yönelimle daha sonraları ise yani doğru soruları sormayı öğrendiğinde sistemli bir şekilde yapmıştır.

Yukarıda saydığım ilk iki fiili yani anlamlandırma ve isimlendirmeyi felsefe taklit kısmını ise matematikle yapmaya çalışmıştır. Fakat bunları yapmasının asıl nedeni yaşamını kolaylaştırmakta elde ettiği bu bilgileri kullanmaktı. Yani daha az iş daha fazla üründü istediği. İşte onun bu eğilimi matematiği sosyal hayatla bütünleşik, ona bağımlı hatta onu sırtında taşıyan bir hamal konumuna getirmişti.

Tarihin engin denizinde gezersek bu fiilin ilk insanlarda mağara duvarlarına çizdikleriyle başladığını görürüz. Ama bizim için asıl kayda değer ilk çalışmalar Sümer rahipleri tarafından yapılmıştır. Onlar hasat vakti gelince Zigguratlarda toplanan ürünün hesabını tutmak için sayıları sistemli ve etkin bir biçimde ve kullandılar.

Mısırlılarda da durum aynıydı. Sadece sebep biraz daha farklı, geniş ve komplikeydi. Onlar yılın belli vakitlerinde taşan Nil Nehri’nin taşma sınırını ve miktarını ve alanını hesaplamak için kullandılar matematiği.

Matematiğe değişik bir bakış açısıyla değerlendiren yok muydu? Vardı elbet. Platon. Fakat o da matematiği kişisel gelişim için şart koşuyordu. Ve BİR ÇOCUĞUN GELİŞİMİ İÇİN GEOMETRİ VE ŞİİRİN YETERLİ OLDUĞUNU söylüyordu. Bu hep böyle kalmadı elbet. Matematiği sosyal hayata esir etmeyenlerde geldi. Müslüman matematikçiler 0 ve on tabanının dışındaki sayı tabanlarıyla özellikle İKİ TABANI ile ilgili çalışmaları matematiğin kendini geliştirmesine büyük yardımda bulundu.

İşte bu çalışmalarla başlayan matematiğin kendi gelişimini 17 yy. CARDANO’NUN bulduğu KARMAŞIK SAYI SİSTEMİ ve DESCARTES’in bulduğu ANALİTİK GEOMETRİ SİSTEM’ leriyle devam ettirdi. Onlardan sonra açtıkları bu yolda NEWTON bulduğu İNTEGRAL KAVRAMI ve bu kavramla ilgili bazı kural ve özelliklerle ilerledi. Fakat ondan sonra gelen nice dahi onların bıraktıklarını açıklamak ve geliştirmekle yetindiler pek azı onların örmeye başladığı duvara onlardan sonra onların bıraktığı yerin üzerine yeni bir tuğla bırakmaya çalıştı. Pek çok kişi de onarın buldukları bu sistem ve kavramları günlük hayatta uygulamaya çalıştı.Peki yaptıkları yapılmaması gereken bir şey miydi? Tâbi ki hayır. Bilakis yapılmaması çok gerekli bir şeydi; ama onların bu yaptıkları matematiğin gelişimini ve ilerlemesini çok ama çok yavaşlattı.

Çünkü onlar hayatı kolaylaştırmak için matematiği geliştirmek yerine onu bina, silah ulaşım ve iletişim araçları yapmada kullandılar. Kısacası hayatı kolaylaştırmaya birincil matematiğin gelişimine ise ikincil derecede önem verdiler. Oysa tam tersini yapsalardı hayat zaten daha kolaylaşırdı. Çünkü matematik yol arkadaşını yarı yolda bırakmayacak kadar vefalı ve onurlu bir yol arkadaşıdır.

FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ açıldığı zaman işte buna hizmet etmesi amaçlanmıştı. Fakat değişen hayat şartları temel gereksinimleri ön plana çıkınca; matematiğe gereken önemi vermeyenler, amaçladıkları şeyin tersiyle karşı karşıya geldiler. Ama umudumuz günün birinde “zararın neresinden dönülürse kâr olduğunun anlaşılması” bireylerin temel gereksinimlerini karşılama endişelerini giderilmesi böylelikle matematiğin gelişimine yardım etmelerinin sağlanmasıdır.

Böylece hem insanlık; hem de matematik kazanmış olacak. Zaten ikinci durumda da yine insanlık kazanmış olacak belki de ilkinden daha büyük bir kazanç.

FIRAT YEŞİL

GEOMETRİ ÖDÜLLÜ SORULAR

SORU 1:

ABCüçgeninde B,L,K ve B,M,N nokta üçlüleri doğrusaldır.

, ADC açısının ve ,

ACB açısının açıortayıdır.

m(AEF)=90, m(AFE)=66

olduğuna göre m(ABC)=?

SORU 2:

SORU 3:

SORU 4:

SORU5:

NOT: Soruları çözen ilk kişiye ödül olarak:

Matematik tarihi ile ilgili kitap hediye edilecek ve

2. sayımızda ayın matematikçisi olarak tam sayfa fotoğrafı yayınlanacaktır.

Çözümlerin gönderileceği adres (diclematsesi@hotmail.com)

TAM KÜP AÇILIMI

Şekilde görüldüğü gibi nün geometrik açılımı görülmektedir.

Tam küpü şekildeki gibi 4 parçaya ayırıp küp açılımını elde edebiliriz.tam küpümüz

3 tane dikdörtgen, 3 tane kare ve büyük bir kareden oluşmaktadır.

Araştırma Görevlisi

M. Faysal AKIN,2001

Matematik Öğretimi Ders Notları

SİHİRLİ KARELERİN SİHRİNİ VE GEÇMİŞİNİ KEŞFETMEK

n. dereceden sihirli kare demek n² tane sayının her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamı aynı olacak şekilde n’e n’lik bir kareye yerleştirilmesi demektir. Bu her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamından elde edilen sayıya da sihirli sabit adı verilir. Aşağıda sihirli sabiti 15 olan 3. dereceden bir sihirli kare verilmiştir.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Sihirli Karelerin Kısa Tarihi

İslam matematiğinde sihirli kareler üzerine ilk çalışmalar hakkında çok az şey bilinmektedir. Yapılan araştırmalar IX. ve X. yüzyılda sihirli karelerin matematiksel özelliklerinin Arap dillerinin konuşulduğu yerlerde çoktan geliştirildiğini göstermektedir. Zamanla sihirli karelerin sihirden çok matematiksel olduğunu ortaya çıkarmıştır. Eski Arap dilinde sihirli karelere “sayıların uyumlu düzeni” anlamına gelen wafq ala’dad denirdi. Sonraları, XI. ve XII. yüzyıllarda İslam matematikçilerinin sihirli kareleri oluşturmak için basit bir dizi kural bulmaları ile büyük bir ilerleme kaydetmişlerdir. XIII. yüzyıl büyücülük ve kehanetin sihirli karelerle özdeşleştirilmesine tanıklık etmiştir. Bu düşünce sihirli karelerin ruhani önemi hakkında konuşan Camman’nın şu sözleri ile desteklenebilir: “Eğer sihirli kareler, genel olarak, evrenin küçük bir modeli iseler, kendini sürekli olarak evrenin merkezinde ilahi kaynak ile yenileyen yaşamın sembolik bir sunumu olarak da görülebilirler.”

Pheru’nun Sihirli Kare Oluşturma Yöntemi

Sihirli karelerin ilk matematiksel kullanımına M.S. 1315 yılında Hindistan’da Thakkura Pheru’nun Ganitasara adlı eserinde rastlanmaktadır. Bu kitapta tek dereceden sihirli karelerin oluşturulması anlatılmaktadır. Yöntem aşağıdaki şekilde de görüldüğü üzere şöyledir; en alt sıranın ortasına 1 yerleştirilir ve üstündeki kareye n+2 yerleştirilir. Bu şekilde bu karenin üstündeki karelere sırayla n+1 eklenerek en üste kadar çıkılır. Bu şekilde artırıldığında bu sütunun en üstündeki sayı n² ye eşit olur.

				n²
				.
				.
				5n+6
				4n+5
				3n+4
				2n+3
				n+2
				1

Diğer hücrelere yerleştirilecek rakamlar, ortadaki sütundaki rakamlardan yola çıkarak elde edilir. Aşağıdaki 9. dereceden sihirli kare Pheru’nun yöntemi ile oluşturulmuştur. Karenin orta sütunun sol tarafında kalan hücreler şu şekilde yerleştirilir; orta sütundaki bir sayıdan satrançtaki atın hareketi uzaklığındaki hücreye gidilerek buraya yola çıkılan hücredeki sayıya 9 (sihirli karenin derecesi) eklenir. Örneğin 1 den yola çıktığımız düşünelim, atın hareketiyle vardığımız hücreye 1+9=10 yerleştiririz. Bu sayıya ard arda 9 ekleyerek elde edilen 19, 28 ve 37 sayısı ilgili hücrelere yerleştirilir. Böylece 9 a 9luk karenin sağ üst köşesine 37 yerleştirmiş olur. Sihirli karenin daha büyük olduğu düşünüp 37+9=46 sayısı da uygun hücreye yerleştirilir. 46 sayısının bulunduğu satırda orta sütunun solunda kalan hücreler yine aynı kuralla yerleştirilir. Daha sonra 9 a 9luk kare dışında kalan sayılardan oluşan bu iki yarım satır karenin en altına yerleştirilir. 46 ve altındaki 45 sayısı da aşağıda üstü çizili olarak belirtildiği üzere sağ alt köşeye yerleştirilir. Yeni yerleştirilen sayılardan yola çıkarak yeni hücrelerde oluşturulur.

Elde edilen sayı 81 den fazla ise bu kez 9 eklenme yerine 9 çıkarma kuralı uygulanır. Sihirli karenin en son aldığı şekil aşağıdaki gibidir. Böylece sihirli sabiti 369 olan bir sihirli kare oluşur.

37	48	59	70	81	2	13	24	35
36	38	49	60	71	73	3	14	25
23	28	39	50	61	72	74	0	15
16	27	29	40	51	62	64	75	5
6	17	19	30	41	52	63	65	76
77	7	18	20	31	42	53	55	66
67	78	8	10	21	32	43	54	56
57	68	79	9	11	22	33	44	46
47	58	69	80	1	12	23	34	45

Kuralı kısaca özetlemek gerekirse, orta sütun oluşturulduktan sonra, at hareketiyle 9 ekleme kuralına uyarak sihirli karenin iki satır üstündeki hücrelere kadar doldurulur. Elde edilen kare dışındaki sayılar karenin içindeki ilgili hücrelere yerleştirilir. Yerleştirme sırasında n² den daha büyük olan sayıların n² den farkı ilgili hücreye yerleştirilir.

ZEKASINA GÜVENENLERE

Ali'nin çocuklarının yaşları 4'ten büyük 19'tan küçüktür. Çocukların yaşlarının çarpımı 60060 olduğuna göre bay Ali'nin kaç çocuğu olduğunu bulunuz.?

1 - 4 - 9 - 61 - 52 - 63 – X buna göre X kaçtır?

0'dan 9'a kadar olan bütün rakamları sadece birer kez kullanarak 10 rakamlı bir sayı elde edeceksiniz. Ancak bu sayının;

• ilk rakamının oluşturduğu sayı, 1'e tam olarak bölünebilecek,

• ilk iki rakamının oluşturduğu sayı, 2'ye tam olarak bölünebilecek,

• ilk üç rakamının oluşturduğu sayı, 3'e tam olarak bölünebilecek, ...

benzer şekilde devam edecek ve bu sayının on rakamının oluşturduğu sayı (yani kendisi) , 10'a tam olarak bölünebilecek.Bu koşullara uyan en küçük sayıyı bulunuz ?

İki kardeşe n sayıda koyun miras kalır. Koyunların hepsini satarlar. Her koyun için n dolar alırlar. Para 10 dolarlık banknotlarla ve gümüş 1 dolarlıklarla ödenir. 10 dolarlıkları eşit paylaşınca geriye bir 10 dolarlık banknot ve gümüş dolarlar kalır. Bunun üzerine bir kardeş 10 dolarlık banknotu, diğeri de gümüş dolarları alır. 10 dolarlığı alan kardeş, eşitliği sağlamak için diğer kardeşe bir çek yazar, bu çek kaç dolarlıktır?

Kraliçenin elmasları Londra Kulesi'nde nxn lik bir kare oluşturacak şekilde dizilmişti. Böylece ilk bakışta herhangi birinin çalınıp çalınmadığı anlaşılıyordu. Bir gece kule soyuldu. Bekçinin ifadesine başvuran Sherlock Holmes'e bekçi şunları söyledi: "Efendim, o gece 3 kişi kuleye girip beni bağladı, elmasları aralarında bölüştüler, artan 2 elması ise aralarında bölüşemedikleri için bırakıp gittiler". Holmes hemen bekçinin yakalanması için Scotland Yard'a haber yolladı. Holmes hırsızın bekçi olduğunu nasıl anlamıştı?

Acemi bir kütüphaneci bir gazetenin verdiği ansiklopedileri, kendince, şöyle sıralamış:

Acaba bu kütüphanecimiz, son cilt olan 10. cildi nereye yerleştirecek dersiniz?

7. Bir kral kendisine farklı motiflerde yüzük yaptırtmak istiyor, bunun için ülkeden 10 tane kuyumcuyu çağırtıyor bütün kuyumculara 100’er gram altın vererek hepsinden 10’ar gramlık 10 tane yüzük yapmalarını istiyor, ancak bunlardan biri yüzükleri 9 gramlık yapıp 1 gramı çalmak ister. Kral bütün yüzükleri aynı anda tartarak kimin sahtekârlık yaptığını nasıl bulabilir?

8. 3 kişi yolculuk yapıyordu. Yemek yiyeceklerdi. Biri çantasından 5 çörek, ikinci 3 çörek çıkardı, üçüncünün yiyeceği yoktu. Birlikte 8 çöreği yediler. Üçüncü yediği çörekler için 800 bin lira çıkarıp ortaya koydu. 3 çörek getiren 300 bin lirayı alarak cebine attı. 5 çörek getiren onun fazla para aldığını iddia etti. Parayı nasıl paylaşmalıydılar?

9. Gemi limanda demirliydi. Yanda su yüksekliğini gösteren sayılar vardı. Su 7.10 m hizasındaydı. Derken gel-git nedeniyle su saniyede 5 cm yükselmeye başladı. Su geminin 8.00 m hizasına kaç saniyede ulaşır?

10. DİCLE ÜNİVERSİTESİ futbol turnuvasının sonuçları şöyledir; Şeytanın avukatları: 2 yenilgi, 1 berabere, attığı 0, yediği 5. Real fizik: 1 galibiyet, 2 beraberlik, attığı 4, yediği 3. Son darbe: 1 galibiyet, 1 yenilgi, 1 beraberlik, attığı 5, yediği 3. Atletico baraca: 2 galibiyet, 1 yenilgi, attığı 5, yediği 3. Bildiğimiz tek şey, Real fizik Şeytanın avukatları maçını Real fizik'in kazanmış olduğudur. Toplam 6 maç yapılıp, her takım diğer üç takımla karşılaştığına göre maçların kaç kaç bittiğini bulunuz.?

PALİNDROM

Palindrom Nedir?

Palindrom; baştan ve sondan okunduğunda değeri değişmeyen sayılardır. Bunların yazılı biçimlerine ise; "Dönüşük Sözcükler" denir.

Biraz Daha İnceleyelim

Dönüşük lük aslında bir tür görsel bakışıklık (simetri) anlamına geliyor. Sözlü dilde dönüşüklüğü sezmek kolay değil. Japon yazısında olduğu gibi, heceleri imlerle anlatan, ya da Arap yazısında olduğu gibi, aynı harfi sözcüğün başında, ortasında ve sonunda başka başka imlerle gösteren, sesli harf gibi kimi harfleri kullanmayan dillerde dönüşüklüğü keşfetmek daha zor, belki de olanaksız. Latin abecesini kullanan dillerde ise bu özelliği görmek görece daha kolay, onun için de Romalılardan beri bu diller dönüşük sözcükleri bulmuşlar, böylece tümceler kurmuşlar.

Bizim dilimizde bunların az bilinmesi biraz da abecemizin görece yeni olması, henüz yeterince bu açıdan araştırılmamış olmasından kaynaklanıyor, yoksulluğundan değil. Madem böyle bir özelliği var, biz de pek ala bu tür sözcükleri keşfedebiliriz, hatta böylece tümceler kurabiliriz.

Abecemizdeki kimi harfler baş aşağı çevrildikleri zaman da okunabiliyorlar. Örneğin "I" harfi öyle. Bir aynaya tutulduklarında, cam gibi saydam bir yüzeye yazıldıklarında da okunabilenlerin olduğunu siz de gözlemişsinizdir. Kimi zaman bunlarla anlamlı sözcükler kurmak olası. Bu da başka bir bakışıklık türü üçüncü tekil kişiyi belirten "O" sözcüğü her türlü bakışıklığa sahip bir sözcük.

Örnekler

Dönüşük Sözcükler	Palindromlar
ANASTAS MUM SATSANA	1*1 = 1
EY EDİP ADANADA PİDE YE	11*11 = 121
TALAT ATTAN ATLA	111*111 = 12321
KABAK, KÜÇÜK	1111*1111 = 1234321
EFE, ANISINA	11111*11111 = 123454321
TALAT, AD	111111*111111 = 12345654321
ÜMMÜ, İKİ	1881

(www.matlab.s5.com)

BUNLARI BİLİYORMUSUNUZ

Ø Gelmiş geçmiş en büyük üç matematikçi; Arşimed, Newton ve Gauss olarak gösterilir...

Ø Gauss, Matematikçilerin Kralı olarak anılır...

Ø Pascal Üçgenini (Binom Üçgeni) aslında Ömer Hayyam bulmuştur...

Ø Galois, 21 yaşında bir düello sonucu ölmüştür. Uzun yıllar yaşasaydı matematiğe daha ne gibi katkılar yapardı sorusu tarihçileri her zaman düşündürmüştür...

Ø Napier, logaritmanın kurucusudur...

Ø Matematikçimiz Cahit Arf'ın ismini taşıyan Arf Teoremleri vardır...

Ø Gauss, karmaşık düzlemi kurmuş ve karmaşık sayılar bu düzlemde gösterilmiştir. Ayrıca, i.i = i² = -1 gösterimini de Gauss kullanmıştır...

Ø Kronecker, "Tanrı tamsayıları yarattı, diğer sayılar insanların eseridir" sözünü söylemiştir...

Ø Topolojinin kurucusu Möbiüs'tür...

Ø Thales, ününü 585'teki Güneş tutulmasını önceden haber vermesine borçludur...

FERMAT BiLDiKLERi

on Teorem” Teorem Oldu En Sonunda başlıklı yazıda, 350 yıllık bir arayıştan sonra ancak daha yeni kanıtlanan Fermat‘ın “Son Teoremin den söz etmiştik. 350 yıllık bir arayıştan sonra... Bir iki yıl değil, beş on yıl da değil, 350 yıl... Bir kuşak, iki kuşak değil, on kuşak... Biraz düşünmek gerekiyor. 350 matematik yılı ne demektir? 350 yıllık bir sabır, 350 yıllık bir uğraş ne demektir? Bir karınca gibi, hiç yılmadan, gıdım gıdım, adım adım, kıyısından köşesinden parçalar kopararak... Başlangıçta bilinse 350 yıl sonra her şeyin açıklığa kavuşacağı! Bilinmiyor ki! Nasıl bilinsin? Hiç de bulunamayabilirdi. Fermat’nın Son Teoremi’nin kanıtı. Üstelik yol gösteren de yok. Karanlıkta yol alınıyor, hangi yolun izlenmesi gerektiği bilinmeden. Bıkmadan, usanmadan, bezmeden, karamsarlığa kapılmadan, inatla, sabırla, hınçla, ve hergün, ve her gece, ve uykularında, ve yemek yerken, ve yürürken, ve çocuklarıyla oynarken, durmadan düşünüyor amatör ve profesyonel matematikçiler. Gerçeğe erişmek kolay değil. Kimbilir kaç kilo mürekkep, kaç ton kâğıt harcamışlardır, kimbilir kaç kalem, kaç tırnak kemirmişlerdir, kaç mum eritmiş, kaç ampul patlatmışlardır? Kimbilir kaç kez başarıya ulaştıklarını sanıp utku çığlığı atmışlardır? Kimbilir kaç kez yanıldıklarını ayrımsayıp masalarını yumruklamışlardır? Ve kimbilir bu matematikçilerden kaçını bugün biliyoruz? Çoğu hiç tanınmamıştır bile, bütün bir yaşam boyu bir adım ilerleyememişlerdir kanıtta.

Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. İki kez, 1816 ve 1850 yıllarında, Paris Bilimler Akademisi teoremi kanıtlayana bir altın madalya ve 3000 Fransız Frankı vereceğini duyurdu. 1856 yılında, jüri üyesi olan Cauchy, konu üzerine 11 çalışma aldıklarını, ancak hiçbir çalışmanın teoremi kanıtlayamadığını bildirdi.Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!

Önermeyi anımsatayım:

Fernat’nın Son Teoremi. Eğer n > 2 bir tamsayıysa,

xⁿ + yⁿ = zⁿ

denkleminin pozitif tamsayılarda çözümü yoktur.

Her ne kadar bu önermeye “Fermat’nın Son Teoremi” deniyorsa da, Fermat’nın bu önermeyi kanıtlayıp kanıtlamadığı kuşkulu. “Son Teorem” Teorem Oldu En Sonunda başlıklı yazıda da sözünü ettiğimiz gibi, Fermat, 1637 yılında okuduğu bir kitabın sayfa kenarına, bu önermenin “harika bir kanıtını” bulduğunu yazar. Ancak, “kanıt için sayfa kenarında yeterince yer yok” diye de ekler. 1993 yazında Andrew Wiles adında bir matematikçi önermeyi kanıtladığını duyurdu dünyaya.

Wiles‘ın önermeyi kanıtladığı duyulmadan hemen önce, önermenin 4 milyondan küçük bütün n sayıları için doğru olduğu biliniyordu. Bu yüzden matematikçilerin büyük çoğunluğu önermenin doğruluğundan kuşku duymuyorlardı. Gene de önerme kanıtlanmalıydı. Kanıt matematiğin özüdür, hatta olgudan çok olgunun kanıtı önemlidir. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1996 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Andrew Wiles 1997 yılında bu ödülü aldı.

(www.alinesin.org)

GÜZEL SÖZLER

İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursa; payı gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettigini, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür ."

TOLSTOY

"Başka herşey de oldugu gibi matemetiksel bir teori için de öyledir;güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz."

CAYLEY, ARTHUR

"Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir."

EİNSTEİN, ALBERT (1879-1955)

"Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme"

SİMEON POİSSON

Sık sık "matematik, teoremleri isbatlamaktan ibarettir" sözünü işitiriz.

Bir yazarın temel işi cümle yazmak degil midir?

ROTA, GİAN-CARLO

"Aptalların sorup akılı insanların cevap veremediği pek çok soru vardır."

POLYA, GEORGE (1887, 1985)

Birinci dünya savaşı kimyacıların, ikinci dünya savaşı fizikçilerin savaşı olduğu söyleniyor. (Belki de hiç olmayacak ) üçüncü dünya savaşı, matematikçilerin savaşı olacak.

PHILIP J. DAVIS

Her kim ki hem tanımlar hem de böler, bir tanrı olarak kabul edilmelidir.

PLATO (M.Ö 429-347)

Tanrı bir çocuktur; ve oynamaya başladığında matematiği geliştirdi. Matematik insana ait oyunların içinde en tanrısal olanıdır

. V. ERATH

Eğer bir kadının, ya da başka bir canlının, güzelliğini övmek isterlerse, bunu eşkenar dörtgenler, çemberler, paralel kenarlar, elipsler ve diğer geometrik terimler kullanarak yaparlar.

JONATHAN SWIFT

Tanrının kendisi eli boş durmayacak kadar iyilikseverliğini ortaya koyarak dünyaya kendi görüntüsünün damgasını vurmuştur. Bu nedenledir ki, tüm doğa ile yüce göklerin geometri sanatında simgeleştiğini söyleyebilirim.

JOHANNES KEPLER (1571-1630)

"Akıllarımız sınırlı, fakat bu sınırlılığın şartları içersinde sonsuz olasılıklarla çevrilmişiz. İşte hayatın gayesi bu sonsuzluktan kavrayabildiğimiz kadar çok şey kavramak."

WHİTEHEAD, ALFRED NORTH (1861 - 1947)

"Sen de biliyorsun ki biz hepimiz aynı sebepten dolayı matematikçi olduk; tembeliz." . ROSENLİCHT, MAX (1949)

TOPLAM KÜP YÖNTEMİNİ BULMA TEOREMİ

Şekil-1

Şekilde verilen 1 birimlik küpün birçok küpten oluştuğu bilinmektedir.

Okurlarımızla paylaşacağımız nokta ise n birimlik küplerin içindeki bütün

(1, 2, 3,…n birimlik) toplam küp sayısını bulma yöntemini anlatacağız.

1 br

Öncelikle 2 birimlik küp içindeki küp sayılarını ayırarak bulalım:

Şekil-2

1 br 2 br

2 br

Görüldüğü gibi 1 birimlik 8 tane, 2 birimlikte 1 tane olmak üzere toplamda 9 tane küp vardır.

Şekilde görüldüğü gibi ayırdığımızda 1 ve 2 birimlik küpleri bulabiliriz. Ancak daha büyük küplerde bu yöntemi kullanmak biraz zor olacaktır.

Dikkat ettiğimizde küp bulma yöntemi olduğu için n birimlik küpteki n küp sayısı 1 dir. Buradan da anladığımız gibi

n birimlikten tane

(n-1) birimlikten tane

(n-2) birimlikten tane

(1) birimlik küpten ise tane küp vardır.

O zaman n kenarlı bir küpteki küp sayısını bu formülle bulabiliriz.

n (n-1) (n-2) 2 1 birimlik küpler

Şekil-3

şekildeki 3 birimilk toplam küp sayısını bulalım.

3 br

Şekilde görüldüğü gibi 1 birimlik 512 tane küpten oluşturulan toplam küp sayısını bulalım.

Şekilde görüldüğü gibi oluşan 8 birimlik küpümüzün içinde

Toplamsa ise,

1 birimlik

2 birimlik

3 birimlik

4 birimlik

5 birimlik

6 birimlik

7 birimlik

8 birimlik

İMKANSIZ İŞLEMLER

2+2=5 İMKANSIZMI?

İSPAT:

X = Y ................................................olsun

X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.

X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.

(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )..........sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.

( X + Y ) = Y......................................( X - Y )'ler sadeleşti.

X + X = X............................................X = Y olduğundan,

2.X = X...............................................'X' leri topladık.

2 = 1 .................................................'X' ler sadeleşti.

3 + 2 = 1 + 3.....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.

5 = 4...................................................buradan,

5 = 2 + 2

.............................................'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık.

SİZCE DOĞRUMU?

TÜREV ALMA:

X herhangi bir tamsayı olmak üzere, X tane X in toplamı,
X + X + X + ... + X = X * X, X tane X = X²,
X + X + X + ... + X = X²,
Her iki tarafın türevini alırsanız;
d                                  d
--(X + X + X + ... + X) = -- X²,
dx                                dx
1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2*X,                                                                                                                                           X tane 1 = 2*X, X = 2*X,
X sıfır olmadığı için her iki taraf X e bölünebilir ve böylece de, 1 = 2 elde edersiniz. Hata nerde?

BÜTÜN SAYILAR EŞİTTİR PARADOKSU:

İSPAT:

a ve b herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:

a-b=c

(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık.

a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık.

a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık.

a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık.

a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.

a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık.

a=b.....................................................(a-b-c) ler sadeleşti.

SİZCE DOĞRUMU?

KARIŞIK BİR HESAP:

İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise

60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

MATEMATİK AŞKIM

Sana romantik şiirler yazmayacağım artık
Ne şiir, ne edebiyat
Sana senin anlayacağın dilden yazacağım
Matematikle yazacağım
Neymiş edebiyatın yalancı sevdaları
Bir geometrici matematikten anlar ve reel olur.

Dedim ya gülüm.
Sana senin anlayacağın dilden yazacağım
Matematikle yazacağım
Bulunduğum koordinatlara bakıp düşündüm.
Sonra kendimi buldum

Ben aşk çemberine teğet geçen bir doğruyum
Tek tesellim hala doğru oluşum
Teğet geçme nedenim ise;
Çemberin yerinde sabit durmayışından
Eksiğim yok muydu? Vardı tabi
İki komşu dik kenar arasındaki bir açı kadar diktim.
Doksan dereceydim yani. Ve senide hipotenüs gibi hep karşıma duracak sandım.

Lakin aldanmışım.
İlişkimizin boyutları bir üçgen gibi genişleseydi tamam.
Ama sen bir gün çekip gidince.
Üçgenimiz bozuldu.
Bende iki vektör arasındaki açı olup çıktım.

Oysa; üçgen olmalıydık, dörtgen olmalıydık, beşgen olmalıydık.
Ne bileyim çokgen olmalıydık.
Ama asla yamuk olmamalıydık…
Yağmuğa hem acırım, hem de nefret ederim.
Ne zaman yamuk dense bir dik inerdi içime
Aklıma ve içim cız ederdi.
Bundan sonra sen düşeceksin aklıma ve inan içim cız etmeyecek sana.

Matematik her zaman sabittir.
Edebiyatsa değişkendir.
"Ah aman gider o yare haber, yarda yanar bir zaman".
Misali olmayacak hayalleri vardır edebiyatın.
Lakin ne yare haber gider,
Nede yar yanar. Olan yine sana olur.
Eczacılara gün doğar.
Düşünüyorum da kıskanırdım eskiden seni.
Paylaşmam derdim, yarin yanağından gayri demiştim asla.
Ve de sen tektin, paylaşılmazdın.
Şimdilerde bunun da formülümü buldum.
Dört çarpı sen kare artı sen ne edersin?
Bu formülden içi boş kaç tane sen türetilebilir.
Senden korkmuyorum artık.
Umarım sen utanırsın.
Bütün kalbimle, benliğimle sana karşı hissettiklerimi
Ve seni her şekilde görmek istediğimi bildiğin halde
Gittin ya git, git…

Zıkkımın kareköküne kadar yolun var diyemiyorum.
Yinede reel sayılar kadar reel mutluluklar dilerim sana.
Dört işlem bilirdim önce, senden önce yani.
En çok bölmeyi severdim, yanlış anlama.
Ekmeğimi bölerdim, yüreğimi bölerdim.
Senden sonra çarpmaya başladım.
Kafamı bütün duvarlara.

Toplamayı severdim senden önce.
Toplardım bütün güzellikleri.
Sen beni bu güzelliklerden çıkardın da eline ne geçti.
Altıyla beşin toplamından bile elde bir kalırken
Senin bu sevdada elinde ne kaldı?
Sen payı paydasından küçük,
Sen dört işlemi yutan eleman.
Sen çarpım tablosunda yolunu şaşırmış (X)

Sen bir bilsen.
Biz sana ne değerler verdikte sen eşitliğin sağına hep değersiz olarak geçtin.
Bense iksin yanına yazılmış herhangi bir rakam.
Ve sen her defasında X i yalnız bırakmak için, beni benle sadeleştirdin.
Eline ne geçti diyorum?
İksi yalnız bırakabildin mi bari?
Yalnız bırakabildin mi iksi?
Neyi, niçin isterdim anlamazdım bir türlü.

Seni memnun etmek için ne olmalıydım.
Bir parabol mü yoksa parası bol mu?
Sana kafiyeler dizmeyeceğim artık.
Serbest, müstezat ve ölçüsüz şiirler yazmayacağım.
Kırmızı pancurlu bir evimiz olacaktı.
Birde havuzumuz olacaktı.
Havuzumuzu iki musluk dört saatte doldururken, bir saatte iki musluk boşaltacaktı.

İki de oğlumuz olacaktı                                                                                        Birinin ismini PASCAL, diğerininkini PİSAGOR koyacaktık.
İkisinin yaşlarının toplamı babalarından bir eksik, annelerinden dört fazla olacaktı.
Tezatlar ülkesinin en tezat çifti olacaktık.
Sen profiterol yerken ban acılı lahmacun yiyecektim.                                                  Kör olayım, çarpılayım, kendime geleyim.
                                                                                                             ANONİM

Matematikte Bunalımlar

Matematiğe çok kez gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren (ya da adım adım ilerleyen), problemlerini er geç çözüme ulaştıran istikrarlı bir bilim gözüyle bakılır. Fakat bilimin diğer dallarında tanık olduğumuz türden duraklama, yoklaşma ya da bunalımlara; görüş yaklaşım ve yorum farklılıklarına matematikte de rastla-maktayız. Ancak her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni bir atılım veya açılmaya giden yolda başlangıç koşulu olarak adlandırabiliriz. Bunalımlar, kısa ya da uzun sürsün hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri geçememiş; kimi kez sanıldığının tersine, matematiği ne geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur. Tarih boyunca matematiğin geçirdiği bunalımları dört ayrı ana bölümde toplayabiliriz: gibi rasyonel olmayan sayıların yol açtığı, başlangıçta “olanaksız” ya da “saçma” sayılan negatif (-1) ve sanal () sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım; Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesapların yol açtığı bunalım; Euclides’in 5.pustulatına ilişkin kuşku ve doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclides dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım; Kümeler teorisinde başlayan paradoksların yarattığı, daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.

İlk Bunalım: İrrasyonel Sayılar

Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (İ.Ö. 5.y.y.) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı, örneğin kenarı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Bunun yanı sıra Zeno’nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmaktadır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur.(Zeno paradoksunun yakından bakıldığında bir çıkarım hatasından kaynaklandığı görülür: Bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklüğü sonsuz yapmaz.) Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. İlk bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki gelişmeye yol açmıştır: İlginin sayısal kuramlardan geometriye kayması. Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.

İkinci Bunalım: Sonsuz Küçükler Hesabı

Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde XVII. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz. Bunlardan ilki Descartes (1596 – 1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirme çabasının bir ürünüdür. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada değişken, fonksiyon ve fonksiyonel bağımlılık gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifadesine yol açar. İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.(infinitesimal calculus) XIX. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştı. XIX. yüzyılda Gauss (1777–1855) ile Cauchy ( 1789- 1857 ) gibi matematikçiler bir yandan eleştirel tutum izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik atılımlar sergilemişlerdir. Gauss çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele oturtma amacına yöneltmişti. Onun cebirin temel teoremi olarak bilinen karmaşık sayılar alanında her cebirsel denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı bu amaca yönelik önemli bir çalışmadır. O güne değin belisiz kalan karmaşık sayılar kavramı bile Gauss’un çalışmasında açıklık kazanır. Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’e borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kav ramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve entegrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi. Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır. Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gerek-siz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir. Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde XIX. yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass (1815–1897)’ın çalışmasıyla ulaşır.

Üçünü Bunalım: Euclides dışı Geometri

Euclides dışı Geometriler İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu apriori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi. Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışlarının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız. Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söz edebiliriz. Richard Dedekind (1831–1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır. Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı. Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düzeyin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılmanın yanı sıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.

Dördüncü Bunalım: Paradokslar

Yüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır. Cantor oluşturduğu kümeler kuramında herhangi bir sonsuz sayıdan daima daha büyük sonsuz bir sayının olduğunu ispatlamıştı. Bertrand Russell (1872–1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu. Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine beklenmeyen bir darbe indirir. Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri paradoksların, değişik biçimlerde Antik dönemlerde ortaya atıldığını biliyoruz. Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Eğimenides (İ.Ö. 6. yy) Tüm Giritliler yalancıdır. Demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıldığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır. Nitekim bu nitelikte bir paradoksu, Epimenides’ten iki yüzyıl sonra gelen Eubulides’in şu önermesi sergilemektedir. Bu söylediğim yanlıştır. Gerçekten bu önermeyi doğru ise yanlış, yanlış ise doğru saymak gerekir. Epimenides de “Ben şimdi yalan söylüyorum” deseydi, söylediği tam bir paradoks oluştururdu. Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine değineceğiz. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandırılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir. Onu Fraenkel, Skolem, von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür. İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir. Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir. Sorunun matematikçilerle filozofları, sözcükleri kullanmada, önermeleri oluşturmada daha dikkatli ve titiz davranmaya itmekle birlikte, dikkatleri matematiğin temellerine yöneltmekte de son derece yararlı bir sonucu olduğu yadsınamaz. Matematikle empirik bilimlerin ilerlemesinde benzer ve farklı yanlar vardır. İki alanda da genellikle her atılım bir bunalımı izler. Ne var ki, bilim, hiç değilse kuramsal düzeyde, kümülatif değildir. Yeni teori, çözüm getirdiği bunalıma yol açan eski yerleşik teoriyle temelde bağdaşmaz niteliktedir. Matematikte ise ilerleme büyük ölçüde kümülâtif niteliktedir. İrrasyonel sayılar rasyonel sayıların, sanal sayılar gerçel sayıların yadsınmasını gerektirmemiştir. Tam tersine, matematikteki her atılım, daha önce ulaşılmış olan birikime dayalı bir açılma, ya da genişleme demek olmuştur.

(http://matipix.com/)

KAN BASINCI DEĞİŞİMİ

Kalp, damar ve sofunum yolu hastalıklarının teşhis ve tedavisinde veya ameliyat gibi ciddi durumlarda kan basıncındaki değişimin ölçülmesi büyük bir ihtiyaçtır. Bu ölçümlerin yapılabilmesi için gerekli elektronik araçların yapısında trigonometri ve periyodik fonksiyonlar kullanılır.

P (milimetre civa)

t (saniye)

Yukarıda, denklemi P = 100 + 20 sin 2pt olan kırmızı renkli grafik verilmiştir. Bu grafik sağlıklı bir insan vücudunun zamana göre kan basıncı değişimini göstermektedir.Periyot 1 saniye olduğuna göre insan kalbi dakikada ortalama 60 defa atar diyebiliriz.Vücut yorulduğu zaman kalp atışı hızlanır.Şekildeki mavi grafik, yorulduğu için kalp atışı dakikada 120 ye çıkan bir kişiye aittir.Grafiğin denklemi P= 100 + 20 sin 4pt ve periyodusaniyedir.

TRİGONOMETRİ VE OPTİK

Saydam bir maddenin kırılma indisi; ışığın boşluktaki hızının o madde içinde ki hızına oranıdır. Örneğin havanın kırılma indisi 1, suyun 1,33, camın 1,5 ve el-masın 2,4 tür. Özellikle bilimsel çalışmalarda kırılma indisini hesaplamak için üç-gen prizmalar ve aşağıda verilen formül sıkça kullanılır. Kırılma indisine n der-sek, şekilde verilen açıları için

olur.

Örneğin, tepe açısı olan bir prizma için kırılma indisini cinsinden hesaplayalım.

Gökkuşağı oluşumu

bulunur.

ÇAVDAR.Ali ve Arkadaşları/Matematik/ 2004

N ‘BOYUTLU CİSİMLERİN ÇİZİMİ

0 BOYUTLU CİSİM

Evrende bütün kavramların başlangıcını bir nokta olarak kabul edebiliriz.

ŞEKİL-1 1 BOYUTLU CİSİM

İki noktanın birleşmesiyle oluşan doğru 1 boyutlu cismi ifade eder.

ŞEKİL-2

2 BOYUTLU CİSİM

1 Boyutlu cismi aynı oranda uzatıp oluşturduğumuz kare, 2 Boyutlu cismi

temsil eder.

ŞEKİL-3

3BOYUTLU CİSİM

2 boyutlu 2 tane cismi eşit orandaki uzantılarla uzatıp köşelerinden

Birleştirdiğimiz de 3 boyutlu cismi yani küpü elde ederiz

ŞEKİL-4

4 BOUYTLU CİSİM Nedir.? 4 boyutlu cisim nasıl oluştu…

3 boyutlu cisme ek olarak kabul edilen 4’cü boyut zaman mıdır?

Bunun doğruluğu bilinmiyor belki ancak size

4 Boyutlu cismin çizimini şekil-5 ‘te olduğu gibi gösterip matematiğe literatürüne 4. boyutu ekleyebiliriz.

ŞEKİL-5

4-Boyutlu cisimlerin farklı açıdan görüntüleri:

Bütün matematikçiler bilirki…matematik evrensel bir dildir. Hayattaki bir çok kavramı matematikle açıklayabilir veya tanımlayabiliriz.örneğin: Tabiatta en çok göze çarpan şekil, düzgün altıgendir. Bal peteğinden kartanesine, birçok kristalden, bazı moleküllere kadar bir çok alanda, düzgün altıgen motifini harikulade bir şekilde kullanıldığı görülür. Özellikle kar tanecikleri bu konudaki en çarpıcı örnektir.

Virginia Leeper dünyanın yeni bir tanımını yaparak dünyanın aslında 24 Boyutlu bir cisim olduğunu savunmuştur.

www.cut-the-knot.org

http://n-dimensional.de

Diferansiyel Denklemlerin Tarihi Gelişimi

Diferansiyel denklemler konusunda yapılan ilk çalışmalar, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyel ve entegral hesabın keşfinden (ortaya çıkmasından) hemen sonra, İngiliz matematikçi Newton (1642-1727) ve Alman matematikçi Leibnitz (1641-1716) ile başlar. Daha sonraları, matematik tarihinde büyük isim yapmış olan, İsviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeşlerin, 18. yüzyılda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D.L. Alembert. Charbit, Monge, Laplaca ile 19. yüzyılda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picart, Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli şartlar altında bir çözümlerinin mevcut olmasının ispatı, diferansiyel denklemler teorisinde varlık teoremi konusunu teşkil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yılları arasında, Fransız matematikçi A.L. Cauchy tarafından tesis edilmiş ve daha sonra gelenler tarafından geliştirilmiştir.

Şimdi konunun tarihsel gelişiminde önemli yeri olan bazı matematikçilerin, ortaya koydukları diferansiyel denklem tiplerinin genel halini belirtelim.

A) Newton ve Diferansiyel

İngiliz matematikçi Newton (1642-1727), diferansiyel denklemler üzerindeki çalışmalarına 1665 yılında başlamıştır. 1671 yılında yayınladığı bir makale ile diferansiyel denklemleri 3 ayrı sınıfta göstermiştir. Bunlar :

i) Birinci Sınıf Diferansiyel Denklemler

Bu sınıfa ayırdıkları, dy/dx tipinde olanlardır. Burada y, x'in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

ii) İkinci Sınıf Diferansiyel Denklemler

Bu sınıfa ayırdıkları, (dy/dx) = f(x,y) tipinde olanlardır.

iii) Üçüncü Sınıf Diferansiyel Denklemler

Bu sınıftaki diferansiyel denklemler ise, kısmi diferansiyel tipinde olanlardır.

B ) Leibnitz ve Diferansiyel Denklem

Alman filozof ve matematikçi Leibnitz (1646-1716), diferansiyel denklemler üzerine çalışmalarına 1673 yılında başlamıştır. Bu konudaki çalışmalarını, 1684 ile 1686 yılları arasında yazdığı Aklaerudilorum adında bir eseri ile ortaya koymuştur.

Leibnitzin bu eseri, yayınlandığı yıllarda Almanya'da gereken ilgiyi görmemiştir. Fakat, İsviçre'de, Jaques ve Jean Bernouilli kardeşler tarafından, ilgiyle incelenmiştir. 1690 yılında, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayınlanmıştır. Yine aynı yıllarda; Leibnitz ve Bernouilli kardeşler tarafından, diferansiyel üzerinde önemli araştırmalar yapmışlardır. Yeni çözüm yolları geliştirmişlerdir.
Leibnitz 1691 yılında; f (x,y) = f (x.g (y)) şeklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmıştır.

C) Euler ve Diferansiyel Denklem

Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783), 1728 yılında, diferansiyel denklemler üzerinde geniş çalışmalar yapmıştır. Diferansiyel denklemlerin derecesini düşürme yöntemlerini geliştirmiştir. Seri çözümleri ve:

(1-x⁴)^-1/2dx + (1-y⁴)^1/2dy = 0

şeklinde olan Abel'in teoreminin cebirsel çözümünü bulmuştur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamıştır.

Euler'in Denklemia_i ler sabit olmak üzere, denklemin genel şekli:

a₀xⁿyⁿ + a₁x^n-1y^n-1 + ... + a_n-1 xy + a_n= q(x) olan bu denklem, y ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayılar değişkendir.

(www.matematikcionline.8m.com)

MATEMATIĞINE GÜVENENLERE

Bin öğrencili bir yatılı okulda her öğrenciye 1’den 1000’e kadar numaralanmış dolaplar verilmiş. Ancak çilingirin yaptığı bir hata sonucu, dolaplardan birinin kilidi döndüğünde (yani dolap açıldığında ya da kapandığında), o dolabın numarasının katı olan dolapların da kilidi dönüyormuş (yani açıksa kapanıyor, kapalıysa açılıyormuş.) Örneğin 8 numaralı dolap açıldığında ya da kapandığında, 16 numaralı dolap açıksa kapanıyor, kapalıysa açılıyormuş. 24, 32, 40.. numaralı dolaplar da ayni akibete uğruyorlarmış.

Dolapların hepsi baslangıçta kapalıymış. Ögrenciler sırayla okula girmişler ve dolaplarının kilitlerini birer kez döndürmüşler. Önce bir numaralı dolabın sahibi öğrenci girmiş ve dolabını açmış. Bütün dolaplar açılmış elbet. Sonra iki numaralı dolabın sahibi öğrenci girmiş, açık dolabını kapatmış ve böylece çift numaralı dolaplar kapanmış. Sonra üç numaralı dolabın sahibi gelmiş, açık dolabını kapatmış ve böylece kapalı olan 6 açılmış, açık olan 9 kapanmış, kapalı olan 12 açılmış...

Soru şu: 1000 öğrenci de dolaplarının kilitlerini sırayla döndürdüklerinde, hangi dolaplar açık kalır?

Önemli olan her dolabın kaç defa açılıp kapandığı. Eğer dolap tek sayıda açılıp kapanıyorsa, açık kalacaktır, yoksa kapalı kalacaktır. Bir dolap kaç defa açılıp kapanır? Kaç sayıya bölünüyorsa o kadar açılıp kapanır. Örneğin, 20 numaralı dolap,

1, 2, 4, 5, 10, 20

numaralı öğrenciler tarafından açılıp kapanır, yani tam altı kez, demek ki 20 numaralı dolap sonunda kapalı kalacaktır. Öte yandan 36 numaralı dolap,

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

numaralı öğrenciler tarafından açılıp kapanır, yani tam dokuz kez, demek ki 36 numaralı dolap sonunda açık kalacaktır.

Dolayısıyla herhangi bir n doğal sayısının kaç doğal sayıya bölündüğünü bulmalıyız.

Doğal sayımızı asallarına ayıralım:

Buradaki p₁, p₂, ..., p_r sayıları birbirinden değişik n’yi bölen tüm asallardır. Şimdi n’yi bölen sayıları bulalım. n’yi bölen her sayı, 0 £ b₁ £ a₁, 0 £ b₂ £ a₂, .., 0 £ b_r £ a_r eşitsizliklerini sağlayan b₁, ..., b_r tamsayıları için,

biçiminde yazılır. Herbir b_i için a_i + 1 seçimimiz var. Demek ki n’nin

(a₁ + 1)(a₂ + 1) ... (a_n + 1)

tane böleni var. Bu sayı çiftse n sayılı dolap kapalı kalacaktır, tekse açık kalacaktır. Bu sayının çift olması için yeterli ve gerekli koşul a_i + 1 sayılarından birinin çift olmasıdır, yani a_i sayılarından birinin tek olmasıdır. Öte yandan yukardaki sayının tek olması için yeterli ve gerekli koşul, a_i + 1 sayılarından herbirinin tek olması, yani herbir a_i sayısının çift olmasıdır. Her a_i’nin çift olması da a’nin bir tamsayının karesi olması demektir. Neden? Çünkü her a_i çiftse, a_i sayısını 2c_i olarak yazabiliriz. O zaman da,

eşitliği geçerlidir. Bunun tersi de doğrudur: Eğer n bir tamsayının karesiyse, a_i’lerin herbiri çift olmak zorundadır.

Sonuç olarak, 1, 4, 9, 16, 25, 36 gibi tam bir kare olan dolaplar açık kalacak, tam kare olmayanlar kapalı kalacaklardır.

BİLMECELER

Ali, sepetteki elmaların yarısını ve bir yarım elmayı Ayşe'ye; sonra kalan elmaların yarısını ve bir yarım elmayı Ahmet'e ve yine kalan elmaların yarısını ve bir yarım elmayı da Hasan'a veriyor. Sonuçta sepette sadece bir elma kaldığına göre başlangıçta kaç elma vardı?
Not: Elmalar bölünmeden paylaşılıyor.

Bir tabakta 7 tane portakal var. Bu portakalları, 7 çocuğa birer tane bütün portakal vererek paylaştırın ve hâlâ tabakta bir portakal kalsın?

3. Dünyanın çevresini ekvatordan geçecek şekilde bir ip ile bağladığımızı kabul edelim.(yaklaşık 40 bin km.) Bu ipi her noktadan 1mt. havada tutabilmek için, ne kadar daha ip ilave etmeliyiz?

Bir duvarın üzerinde 5 adet kuş duruyor. O sırada oradan geçmekte olan bir avcı, tüfeğini ateşleyip ikisini vuruyor. Geriye kaç kuş kalır? (Cevap 'hiç' değil)

İki kişi yolda karşılaşıyorlar. Küçük olan, Büyüğün öz oğludur. Ancak büyük olan küçüğün babası değildir. Bu nasıl olur?

Yılın kaç ayında 'otuz' gün vardır?

Ali ile Veli 100 metre yarışı yapıyorlar. Ali, Veli'yi 5 metre farkla geçiyor. Yani Ali yarışı bitirdiğinde Veli 95. metrededir. Tekrar yarışmaya karar veriyorlar. Fakat bu sefer Ali, başlangıç çizgisinden 5 metre geriden başlıyor. Aynı hızla koştuklarını kabul edersek bu yarışı kim kazanır?

Üç kedi, üç fareyi üç dakikada yakalarsa dokuz kedi, dokuz fareyi kaç dakikada yakalar?

Bir tartı aletinde iki kutu ayrı ayrı tartılıyor. İlk kutu 5kg, ikinci kutu da 6kg geliyor. İki kutu beraber tartıldığında ise ibre, 12kg'ı gösteriyor. Yanlış tartıldığı belli olan kutuların gerçek ağırlıkları nedir?

B - İ - Ü - D - ?
Soru işareti yerine hangi harf gelmelidir?

FIKRALAR

ÜÇGENİN TANIMI

İlkokulda, matematik dersinde öğretmen üçgenin alanını, çocuklara şu şekilde öğretmiş:

Bir üç kenarlının alanı, yatayımı ile diklesiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür.

Çocuk bunu güzelce ezberlemiş.

Akşam babası evde sormuş:

— Bu gün okulda ne öğrendiniz?

— Matematik dersinde, bir üçkenarlının alanını öğrendik babacığım.

— Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?

— Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür.

— Yavrum, yanlış öğretmişler size.

Doğrusu: Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla oğlunun konuşmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş:

— İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi,kaidesiyle irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.

İNTEGRAL

İki erkek matematikçi bir bara gider. Birincisi ikincisine ortalama bir kişinin matematik hakkında çok az şey bildiğini söyler. İkincisi buna katılmaz ve birçok insanın yeterli miktarda matematikle başa çıkabileceğini iddia eder. Birinci matematikçi tuvalete gider.

Onun yokluğunda ikinci matematikçi garson kızı çağırır. Ona bir kaç dakika sonra arkadaşı döndüğünde kendisini tekrar çağıracağını ve bir soru soracağını söyler. Bütün yapacağı ``iks küp bölü üç" diye yanıt vermektir. Kız tekrarlar `eks küp... Ne?' Matematikçi düzeltir `iks küp bölü üç'Kız: `Eks küp bölü üç?' Evet der matematikçi. Kız tamam deyip, kendi kendine mırıldanarak uzaklaşır, `iks küp bölü üç, iks küp...'

Birinci matematikçi döner ve ikincisi kendi görüşünün doğruluğunu kanıtlamak için iddiaya girmelerini teklif eder. Sarışın garson kıza bir integral soracağını söyler, birincisi gülerek kabul eder.

İkinci adam garson kızı çağırır ve sorar `x karenin integrali nedir?'

Garson kız yanıtlar `x küp bölü üç', uzaklaşırken de ekler `artı bir sabit sayı'!

YAZI – TURA

Bir matematik öğrencisi finale çalışamamıştır ve sınava girdiğinde bakar ki sorular doğru/yanlış tipinde. Ne yapacağı bellidir. Çıkarır bir bozuk para ve yazı-tura atarak imtihanı cevaplandırmaya başlar. Gözetmen de bir yandan takip etmektedir onu. Bu şekilde iki saat geçer. Herkes sınıfı terk etmiştir. Fakat o hala yazı tura atmaktadır.

Gözetmen dayanamaz ve gelip sorar:

— Sınava çalışmadığını ortada. Kitapçığı bile açmadın ve yazı-tura atarak cevaplandırıyorsun. Peki, seni bu kadar uzun süre meşgul eden nedir?

Öğrenci hiç istifini bozmaz ve bozuk parayı fırlatmaya devam eder:

— Şşşt, cevapları kontrol ediyorum.

MATEMATİKÇİ

Balonla seyahat etmekte olan bir grup yolunu kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar. İçlerinden biri aşağıya bağırır:

— Heyyy!.. Şu anda nerdeyiz?..

Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir:

— Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız...

Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına:

— Biliyor musunuz bu adam matematikçi!..der. Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar:

— Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey kesin olarak doğru... Üçüncüsü, bir işe yaramıyor...

KARİKATÜRLER

...İşte matematik budur.

Arkadaşın yerinde olmak istermiydiniz?..Duyamadım

YARARLI LİNKLER

www.matematikci.org

www.matder.org.tr

www.cybermaths.8m.com

tr.wikipedia.org

www.tmd.org.tr

www.md.math.bilgi.edu.tr

www.matokulu.com

www.geocities.com

www.geometri.geometre-expert.fr

www.geometri.lisesi.com

www.math.su.se

www.matematikk.org

www.geometri.kulubu.com

www.mat.itu.edu.tr/

www.ilkogretim-online.org.tr

www.cut-the-knot.org

http://n-dimensional.de

www.matematikcionline.8m.com

www.portal.acm.org)

www.matlab.s5.com

http://matipix.com/

www.matematik.mekani.com

www.math.metu.edu.tr

www.matematik.edu.tr.tc

www.sanalmatematik.com

www.meraklisina.com.tr

AÇIKLAMALAR

ü Yarışmaya katılabilmek için dergi almak yeterli olacaktır. Ancak ismi listemizde bulunmayan arkadaşların gönderdiği çözümler doğru olsa bile dikkate alınmayacaktır.

ü Ödüllü matematik sorularını çözüp e-mail adresimize gönderen ilk kişiye ödül olarak matematik tarihi ile ilgili kitap hediye edilip, 2. sayımızda ayın matematikçisi olarak ilan edilerek dergide tam sayfa fotoğrafı yayınlanacaktır.

ü Ödüllü geometri sorularını çözüp e-mail adresimize gönderen ilk kişiye ödül olarak matematik tarihi ile ilgili kitap hediye edilip, 2. sayımızda ayın geometricisi olarak ilan edilerek dergide tam sayfa fotoğrafı yayınlanacaktır.

ü Matematik ve geometri sorularının çözümleriyle beraber gönderilmesi gerekmektedir.

ü Yorumlarınızı ve dergide bulunmasını talep ettiğiniz konuları e-mail adresinden bize bildirebilirsiniz. Yazar komitemiz tarafından beğenilen konular ve makaleler sizin isminiz altında dergide yayınlanacaktır.

ü Çözemediğiniz her türlü matematik ve geometri sorularını adresimize gönderip çözümlerini talep edebilirsiniz.

e-mail: diclematsesi@hotmail.com

5. Beş harfli bir şifrenin ilk dört şeklini inceleyerek beşinci şekli uygun biçimde karalayınız.

· Oyun 2005 (yaş, tahsil vb. sınırlamalar olmadan) dileyen herkese açıktır ve katılım ücretsizdir. · Soruları her hangi bir süre kısıtlaması olmadan tek başınıza çözünüz. · Cevaplarınızı vakfımıza en geç 28 Ekim 2005 tarihine kadar postayla, faksla, TZV web sitesi üzerinden veya elden teslim ediniz. · Eleme ve Yarı Final sınavlarında başarılı olan yarışmacılara sonuçlar İnternet ve posta yoluyla ulaştırılacaktır. · Final sınavına katılmaya hak kazanan yarışmacıların ulaşım masrafları vakfımız tarafından karşılanacaktır. · Yarışmada birinciye 15, ikinciye 10, üçüncüye 5, dördüncüye 3 ve beşinciye 2 Cumhuriyet altını verilecektir. · Yarı Final Sınavı 27 Kasım 2005, Final Sınavı ve Ödül Töreni 18 Aralık 2005 tarihlerinde Ankara’da yapılacaktır.

TZV · MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI · ODTÜ · TOBB · TÜBİTAK

ODTÜ-HALICI Yazılımevi, Teknokent, ODTÜ 06531 ANKARA Tel:2101627 2100020 Faks:2101628 www.tzv.org.tr

TÜRKİYE ZEKA VAKFI

TÜRKİYE 10. ZEKA OYUNLARI YARIŞMASI “OYUN 2005” ELEME SINAVI

7. Diğerlerinden farklı olan sözcüğü işaretleyiniz.

DAYI , DAMAT , KEFİL , PARA , SARI , YOKUŞ

3. 7, 8, 9, 10, 11 sayılarını ve toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin her birini tam olarak bir kez kullanarak 123 sayısını elde ediniz.

Cevap : ________________________________

Adı, Soyadı:		e-posta:
Doğum Yeri:	Doğum Tarihi:	Cinsiyeti:
Öğrenim Durumu:	Meslek:	Telefon:
Adres:

2. “Adam birdenbire cansızlaşmıştı!.. Çamaşırları dağıtılmış, etrafa fırlatılmıştı. Gömleğindeki “Ğ” harfinin ışıltılı işlemeleri jiletle kesilmişti. Loş mekanda, nasıl olduğu öngörülemeyen parlak renkli silüetler şekillenmişti. Tırnaklarının ucundaki ümitsiz vasiyeti yeni zarflanmıştı…”

Bu polisiye öyküdeki sır nedir?

Cevap:

4. Aşağıdaki dokuz sözcüğü üçerli üç gruba ayırın. Her gruptaki harfleri birer kez kullanarak üç söz/sözcük üretin.

ATA, BEN, BİT, EFE, EŞ, GAR, HARÇ, KAŞ, YASAL

Örnek: Soru AR, EL, EY, GİŞE, İL, KİN, MAŞA, RİTM, TIR

sözcükleri için sorulsaydı, cevap ARAŞTIRMA (AR, MAŞA, TIR), GELİŞTİRME (EL, GİŞE, RİTM), YENİLİK (EY, KİN, İL) olacaktı.

1. Soru işaretinin yerine hangi harf gelecek?

? , 3 , R , 40 , İ , 7 , E

Cevap : ________

Cevap:

9. Aşağıdaki 16 sayıdan 4’ünü seçerek öyle bir grup oluşturun ki, gruptaki sayıların “BİR”ler, “ON”lar, “YÜZ”ler ve “BİN”ler basamakları dikkate alındığında her basamakta ya aynı ya da farklı bir rakam bulunsun. (Örnek: 1234, 2223, 3242, 4211 sayıları olsaydı, bu sayılar bir grup oluşturabilirdi.)

4322 3312 1313 4224

2224 1432 3122 4311

2342 2344 4133 4433

1332 4332 2322 1411

8. Soru işaretinin yerine gelecek günleri sırasıyla yazınız.

? , CUMARTESİ, ? , PAZAR, PAZARTESİ, ? , SALI

Cevap: __________ , __________ , __________

Yanıt:

10.”BU CÜMLEDE ______ ADET A HARFİ, ______ ADET E HARFİ, ______ ADET I HARFİ, ______ ADET i HARFİ, ______ ADET O HARFİ, ______ ADET Ö HARFİ, ______ ADET U HARFİ, ______ ADET Ü HARFİ BULUNUYOR.”

Boşlukları uygun sayılarla (yazıyla yazarak) öyle doldurun ki, doğru bir cümle elde edilsin.

6. İki matematikçi konuşmaktadır:

-“ Tahtaya yazdığım sayı bir çarpma işleminin sonucudur. İşlemin özelliği, çarptığım iki sayıda ve elde ettiğim sonuçta 0 ile 9 arasındaki 10 rakamın tam olarak birer kez kullanılıyor olmasıdır. (Örnek: 78 x 345 = 26910). Çarptığım iki sayı nedir?”

-“Çarpma işleminin sonucuna bakıyorum, ancak sayıları bulmam için bilgiler yeterli değil.”

-“O halde sana bir bilgi daha veriyorum. Çarptığım iki sayıdan biri diğerine kalansız bölünüyor.”

-“Şimdi bulabiliyorum.”

Bu iki sayının ne olduğunu siz de bulunuz.

Sorular Emrehan Halıcı tarafından hazırlanmıştır. Telif hakları Türkiye Zeka Vakfı’na aittir.